Considere a função
. Use, se necessário,
.
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
dos máximo e minimos locais de
.
b) Determine a coordenada
de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e mínimos globais de
dentro do intervalo
. Justifique.
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada
b) Determine a coordenada
c) Calcule os máximos e mínimos globais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) os números críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, e as abscissas dos extremos locais; em (b) os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade; e em (c) os máximos e mínimos globais no intervalo
. Vamos usar derivadas primeira e segunda para analisar monotonicidade e concavidade, e a regra de extremos em intervalo fechado.
Passo 2
Calcule a primeira derivada e ache os críticos.
Assim, os números críticos são as raízes de
, ou seja
Passo 3
Estude o sinal de
para ver onde
cresce ou decresce:
para temos
, logo
decresce;
entre e
temos
, logo cresce;
entre e
temos
, logo decresce;
para temos
, logo cresce.
Dessa análise segue que
para
entre
entre
para
Dessa análise segue que
Além disso, em
muda de decrescente para crescente (mínimo local), em
de crescente para decrescente (máximo local) e em
de decrescente para crescente (mínimo local).
Passo 4
Se quiser conferir os valores de
nesses pontos:
Isso confirma que
é máximo local e
são mínimos locais.
Passo 5
Agora a segunda derivada para inflexão e concavidade:
Pontos de inflexão vêm de
, i.e.
Passo 6
Estude o sinal de
. Como o coeficiente de
é positivo,
fora das raízes e
entre elas. Assim,
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
Passo 7
Para os extremos globais em
, avalie
em
:
O maior valor é
e o menor é
.
Resposta
(a)
Números críticos: .
cresce em
e decresce em
.
Máximos e mínimos locais ocorrem em (máximo) e
(mínimos).
Números críticos:
Máximos e mínimos locais ocorrem em
(b)
Pontos de inflexão em
Pontos de inflexão em
e côncava para baixo em
(c)
No intervalo , o máximo global é
em
e o mínimo global é
em
.
No intervalo