Considere a função f(x)=\frac{1}{4} x^{4}-3 x^{3}+4 x^{2}+2. Use, se necessário, \sqrt{228} \approx 15.
a) Encontre os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e a coordenada x dos máximo e minimos locais de f(x).
b) Determine a coordenada x de todos os pontos de inflexão e os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.
c) Calcule os máximos e mínimos globais de f(x) dentro do intervalo [-1,1]. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-3x^{3}+4x^{2}+2
e pede em (a) os números críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, e as abscissas dos extremos locais; em (b) os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade; e em (c) os máximos e mínimos globais no intervalo [-1,1]. Vamos usar derivadas primeira e segunda para analisar monotonicidade e concavidade, e a regra de extremos em intervalo fechado.

Passo 2

Calcule a primeira derivada e ache os críticos.
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac14x^4-3x^3+4x^2+2\Bigr) =x^3-9x^2+8x =x\,(x^2-9x+8) =x\,(x-1)\,(x-8).
Assim, os números críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja
x=0,\quad x=1,\quad x=8.

Passo 3

Estude o sinal de f'(x)=x(x-1)(x-8) para ver onde f cresce ou decresce:
para x<0 temos (-, - , -)= -, logo f decresce;
entre 0 e 1 temos (+, -, -)= +, logo cresce;
entre 1 e 8 temos (+, +, -)= -, logo decresce;
para x>8 temos (+, +, +)= +, logo cresce.
Dessa análise segue que
\text{cresce em }(-\infty,0)\cup(0,1)\quad\text{e}\quad(8,\infty),
\text{decresce em }(0,1)\cup(1,8).
Além disso, em x=0 muda de decrescente para crescente (mínimo local), em x=1 de crescente para decrescente (máximo local) e em x=8 de decrescente para crescente (mínimo local).

Passo 4

Se quiser conferir os valores de f nesses pontos:
f(0)=2,\quad f(1)=\tfrac14-3+4+2=\tfrac{13}{4},\quad f(8)=\tfrac14\cdot4096-3\cdot512+4\cdot64+2=-254.
Isso confirma que x=1 é máximo local e x=0,8 são mínimos locais.

Passo 5

Agora a segunda derivada para inflexão e concavidade:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3-9x^2+8x\bigr) =3x^2-18x+8.
Pontos de inflexão vêm de f''(x)=0, i.e.
3x^2-18x+8=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18\pm\sqrt{324-96}}{6} =\frac{18\pm\sqrt{228}}{6}.

Passo 6

Estude o sinal de f''(x)=3x^2-18x+8. Como o coeficiente de x^2 é positivo, f''(x)>0 fora das raízes e f''(x)<0 entre elas. Assim, f é côncava para cima em
\bigl(-\infty,\tfrac{18-\sqrt{228}}{6}\bigr)\;\cup\;\bigl(\tfrac{18+\sqrt{228}}{6},\infty\bigr)
e côncava para baixo em
\bigl(\tfrac{18-\sqrt{228}}{6},\tfrac{18+\sqrt{228}}{6}\bigr).

Passo 7

Para os extremos globais em [-1,1], avalie f em x=-1,0,1:
f(-1)=\tfrac14+3+4+2=\tfrac{37}{4},\quad f(0)=2,\quad f(1)=\tfrac{13}{4}.
O maior valor é f(-1)=37/4 e o menor é f(0)=2.

Resposta

(a)
Números críticos: 0,1,8.
f cresce em (-\infty,0)\cup(1,8) e decresce em (0,1)\cup(8,\infty).
Máximos e mínimos locais ocorrem em x=1 (máximo) e x=0,8 (mínimos).
(b)
Pontos de inflexão em
x=\frac{18\pm\sqrt{228}}{6}.
f é côncava para cima em
\bigl(-\infty,\tfrac{18-\sqrt{228}}{6}\bigr)\cup\bigl(\tfrac{18+\sqrt{228}}{6},\infty\bigr)
e côncava para baixo em
\bigl(\tfrac{18-\sqrt{228}}{6},\tfrac{18+\sqrt{228}}{6}\bigr).
(c)
No intervalo [-1,1], o máximo global é f(-1)=37/4 em x=-1 e o mínimo global é f(0)=2 em x=0.

Exercícios relacionados