Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int \frac{5 x^{2}-4}{x^{2}(x-2)} d x Dica: x^{2}=(x-0)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \frac{5x^{2}-4}{x^{2}(x-2)}\,dx.
O conteúdo principal é a decomposição em frações parciais, que permite escrever uma função racional como soma de termos mais simples, cada um integrável diretamente.

Passo 2

Para usar frações parciais, escrevemos
\frac{5x^{2}-4}{x^{2}(x-2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-2}.
Isso se baseia na ideia de que o denominador fatorado x^{2}(x-2) gera termos do tipo \tfrac{A}{x}, \tfrac{B}{x^{2}} e \tfrac{C}{x-2}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-2)\) para achar \(A\), \(B\) e \(C\): \[5x^{2}-4 = A\,x(x-2)+B\,(x-2)+C\,x^{2}.
Expandindo:
A(x^{2}-2x)+B x-2B+C x^{2} =(A+C)x^{2}+(-2A+B)x-2B.
Comparando coeficientes em cada potência de x:
\begin{cases} A+C = 5,\\\\ -2A+B = 0,\\\\ -2B = -4. \end{cases}
Da terceira equação vem B=2\]. Substituindo na segunda: \(-2A+2=0 logo A=1. Então C=5-A=4.

Passo 4

Com A=1, B=2, C=4, a integral se torna
\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{4}{x-2}\Bigr)\,dx =\int\frac{1}{x}\,dx +\int\frac{2}{x^{2}}\,dx +\int\frac{4}{x-2}\,dx.
Agora integramos cada termo:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\lvert x\rvert, \quad \int\frac{2}{x^{2}}\,dx=-\frac{2}{x}, \quad \int\frac{4}{x-2}\,dx=4\ln\lvert x-2\rvert.

Resposta

\int \frac{5x^{2}-4}{x^{2}(x-2)}\,dx =\ln\lvert x\rvert +4\ln\lvert x-2\rvert -\frac{2}{x} +C.

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