Calcule as seguintes integrais (OBS: Não é necessário simplificar o resultado encontrado)
\int_{1}^{2} 16 x^{3} \ln (\mathrm{x}) d x Dica: Calcule primeiramente a integral indefinida e depois aplique os limites de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}16x^{3}\ln(x)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes: primeiro achamos a antiderivada geral de 16x^{3}\ln(x) e depois aplicamos os limites de 1 a 2.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = 16x^{3}\,dx,
então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int 16x^{3}\,dx = 4x^{4}.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos a integral indefinida:
\int 16x^{3}\ln(x)\,dx = 4x^{4}\ln(x) - \int 4x^{4}\,\frac{1}{x}\,dx = 4x^{4}\ln(x) - 4\int x^{3}\,dx = 4x^{4}\ln(x) - x^{4} + C.

Passo 4

Definindo
F(x) = 4x^{4}\ln(x) - x^{4},
calculamos
F(2) = 4\cdot2^{4}\ln(2) - 2^{4} = 64\ln(2) - 16,
F(1) = 4\cdot1^{4}\ln(1) - 1^{4} = 0 - 1 = -1.
Logo,
\int_{1}^{2}16x^{3}\ln(x)\,dx = F(2) - F(1) = (64\ln(2) - 16) - (-1) = 64\ln(2) - 15.

Resposta

64\ln(2) - 15

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