Resolva os problemas a seguir:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{y}{x}+x y^{3} \\\ y\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{8}{3}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' = \frac{y}{x} + x\,y^{3}, \qquad y\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\tfrac{8}{3}}.
Este é um caso de equação de Bernoulli com n=3. Para resolver, vamos reescrever no formato padrão
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
e usar a substituição z=y^{1-n}=y^{-2}.

Passo 2

Reescrevendo a equação nos termos de Bernoulli, temos
y' - \frac{1}{x}\,y = x\,y^{3},
ou seja, p(x)=-\tfrac1x, q(x)=x e n=3.

Passo 3

Definimos
z = y^{1-3} = y^{-2}.
Então
z' = -2\,y^{-3}\,y',
e isolando y^{-3}y' na equação original multiplicada por y^{-3}, obtemos
y^{-3}y' - \frac{1}{x}y^{-2} = x \;\Longrightarrow\; -\tfrac12\,z' - \frac{1}{x}\,z = x.
Multiplicando por -2, chega-se à equação linear em z:
z' + \frac{2}{x}\,z = -2x.

Passo 4

Para resolver
z' + \frac{2}{x}z = -2x
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{2}.
Multiplicando toda a equação por x^2, vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 z\bigr) = -2x^3 \;\Longrightarrow\; x^2 z = \int -2x^3\,dx = -\tfrac12\,x^4 + C.
Logo
z = -\tfrac12\,x^2 + C\,x^{-2}.

Passo 5

Voltando a y (lembre que z=y^{-2}), temos
y^{-2} = -\tfrac12\,x^2 + C\,x^{-2}.
Usando y(1/2)=\sqrt{8/3}, calculamos
y^{-2}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{3}{8}, \quad -\tfrac12\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + C\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-2} = -\tfrac18 + 4C.
Então
-\,\tfrac18 + 4C = \tfrac{3}{8} \;\Longrightarrow\; 4C = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; C = \tfrac18.

Passo 6

Substituindo C=\tfrac18 em y^{-2}, obtém-se
y^{-2} = -\tfrac12\,x^2 + \tfrac18\,x^{-2} = \frac{-4x^4 + 1}{8x^2}.
Invertendo,
y^2 = \frac{8x^2}{1 - 4x^4},
e, escolhendo o ramo positivo para atender a condição inicial,
y(x) = \frac{2\sqrt2\;x}{\sqrt{\,1 - 4x^4\,}}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{2\sqrt2\,x}{\sqrt{1 - 4x^4}},}
válido para \lvert x\rvert<\tfrac{1}{\sqrt2}, de modo que y\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt{\tfrac{8}{3}}.

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