Resolva os problemas a seguir:
y^{\prime}=k y-a y^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem não linear
y' = k\,y \;-\; a\,y^{3},
onde k e a são constantes. Vamos (1) determinar os pontos de equilíbrio e (2) encontrar a solução geral por separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio fazemos y'=0:
k\,y - a\,y^3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,(k - a\,y^2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \quad\text{ou}\quad y^2 = \frac{k}{a} \;\Longrightarrow\; y = \pm\sqrt{\frac{k}{a}}.

Passo 3

Agora separamos variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx} = y\,(k - a\,y^2) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y\,(k - a\,y^2)} = dx.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{y\,(k - a\,y^2)} = \frac{A}{y} + \frac{B\,y}{k - a\,y^2}.
Temos
1 = A\,(k - a\,y^2) + B\,y^2 \;\Longrightarrow\; A = \frac1{k}, \; B = \frac{a}{k}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\!\frac{1}{y\,(k - a\,y^2)}\,dy = \frac{1}{k}\int\!\frac{1}{y}\,dy + \frac{a}{k}\int\!\frac{y}{k - a\,y^2}\,dy = \int dx.
Calculando:
\frac{1}{k}\ln\bigl|y\bigr| - \frac{1}{2k}\ln\bigl|k - a\,y^2\bigr| = x + C.

Passo 6

Reunindo logs e exponenciando, obtemos
\ln\!\Bigl(\frac{|y|}{|k - a\,y^2|^{1/2}}\Bigr) = k\,x + C \;\Longrightarrow\; \frac{y^2}{k - a\,y^2} = D\,e^{2k x},
onde D=e^{2C}. Resolvendo para y^2, chega-se a
y^2(x) = \frac{D\,k\,e^{2k x}}{1 + D\,a\,e^{2k x}} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm\sqrt{\frac{k}{a}}\;\frac{1}{\sqrt{1 + E\,e^{-2k x}}},
com E = 1/(D\,a) constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{ y(x) = \pm \sqrt{\frac{k}{a}}\;\frac{1}{\sqrt{1 + E\,e^{-2k x}}}, }
onde E é constante de integração. Os pontos de equilíbrio são
\,y=0 e \,y=\pm\sqrt{k/a}.

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