Calcule as seguintes integrais:
, onde
é a fronteira da região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
sobre a curva que é a fronteira da região
limitada por
sobre a curva
Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral de área sobre
.
Passo 2
Identificamos
O Teorema de Green afirma que, com orientação positiva (sentido anti-horário),
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
Portanto,
As curvas se intersectam quando
, dando
e
. Então
Calculando a primitiva,
avaliando de
a
:
Resposta
A integral vale
.