Calcule as seguintes integrais:
\oint_{\gamma}(y-x+\arctan x) d x+\left(2 x-y+\sqrt{1+y^{2}}\right) d y, onde \gamma é a fronteira da região limitada por y=x+2 e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha \displaystyle \oint_{\gamma} (y - x + \arctan x)\,dx + \bigl(2x - y + \sqrt{1+y^{2}}\bigr)\,dy
sobre a curva \gamma que é a fronteira da região D limitada por
y = x + 2 \quad\text{e}\quad y = x^2.
Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha numa integral de área sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = y - x + \arctan x, \qquad Q(x,y) = 2x - y + \sqrt{1+y^{2}}.
O Teorema de Green afirma que, com orientação positiva (sentido anti-horário),
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = 1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - 1 = 1.

Passo 4

Portanto,
\oint_{\gamma} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} 1\,dA = \text{Área}(D).Á
As curvas se intersectam quando x^2 = x+2, dando x=-1 e x=2. Então
\text{Área}(D) = \int_{x=-1}^{2} \bigl[(x+2) - x^2\bigr]\,dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2)\,dx.Á
Calculando a primitiva,
\int (-x^2 + x + 2)\,dx = -\tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{2}x^2 + 2x,
avaliando de -1 a 2:
\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot 8 + \tfrac{1}{2}\cdot 4 + 4\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{1}{3}\cdot(-1) + \tfrac{1}{2}\cdot 1 -2\Bigr) = \frac{10}{3} - \bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} - 2\bigr) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}.

Resposta

A integral vale \tfrac{9}{2}.

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