(0,5)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=4 t^{5} e^{t} \cos 2 t
para aplicar o método dos Coeficientes a Determinar. Não calcule os coeficient
(b) Responda VERDADEIRO ou FALSO e justifique: \cos t=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede, para a equação
y'' - 2y' + 2y = 4\,t^{5}\,e^{t}\cos2t,
determinar apenas a forma do polinômio a escolher no método dos coeficientes a determinar (sem calcular os coeficientes). Também pede verificar se \cos t = \tfrac{e^{it}+e^{-it}}{2} é verdadeiro ou falso, com justificativa.

Passo 2

Identificamos que o segundo membro é da forma
\;P_{5}(t)\,e^{\alpha t}\cos(\beta t)\quad\text{com}\quad P_{5}(t)=4\,t^{5},\;\alpha=1,\;\beta=2.
Pelo método, propomos
\;y_{p}(t)=t^{s}\,e^{\alpha t}\bigl(Q_{5}(t)\cos(\beta t)+R_{5}(t)\sin(\beta t)\bigr),
onde s é a multiplicidade de \alpha\pm i\beta como raiz da equação característica associada ao lado esquerdo.

Passo 3

A equação característica é
\;r^{2}-2r+2=0\quad\Longrightarrow\quad r=1\pm i.
Como \alpha\pm i\beta =1\pm 2i não coincide com 1\pm i, temos s=0. Portanto não multiplicamos por potências extras de t.

Passo 4

Concluímos que a forma a adotar para y_{p}(t) é
y_{p}(t) = e^{t}\Bigl(Q_{5}(t)\cos2t+R_{5}(t)\sin2t\Bigr),
onde
Q_{5}(t)=A_{5}t^{5}+A_{4}t^{4}+\cdots+A_{0},\quad R_{5}(t)=B_{5}t^{5}+B_{4}t^{4}+\cdots+B_{0}.

Passo 5

Para a afirmação \cos t = \tfrac{e^{it}+e^{-it}}{2}, lembramos da fórmula de Euler:
e^{it}=\cos t + i\sin t,\quad e^{-it}=\cos t - i\sin t.
Somando as duas igualdades, obtemos
e^{it}+e^{-it}=2\cos t,
ou seja
\cos t = \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}.

Resposta

(a) y_{p}(t)=e^{t}\bigl((A_{5}t^{5}+\cdots+A_{0})\cos2t+(B_{5}t^{5}+\cdots+B_{0})\sin2t\bigr).
(b) VERDADEIRO.

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