Nos problemas 2 e 3, a família a dois parâmetros é uma solução da equação diferencial indicada no intervalo (-\infty, \infty). Verifique se pode ser encontrado um membro da família que satisfaça as condições de contorno.
2. y=c_{1} e^{x} \cos (x)+c_{2} e^{x} \sin (x) ; y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0
b) y(0)=1, y^{\prime}(\pi)=-1

Passo 1

O enunciado dá a família de soluções da equação homogênea
y'' - 2y' + 2y = 0
no intervalo (-\infty,\infty):
y = c_{1}e^{x}\cos x \;+\; c_{2}e^{x}\sin x.
Queremos ver se existe um par (c_{1},c_{2}) que satisfaça as condições de contorno \;y(0)=1\; e \;y'(\pi)=-1.

Passo 2

Impondo y(0)=1 temos
y(0)=c_{1}e^{0}\cos0 + c_{2}e^{0}\sin0 = c_{1}\cdot1\cdot1 + c_{2}\cdot1\cdot0 = c_{1}.
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c_{1} = 1.

Passo 3

Para usar a segunda condição precisamos de y'. Aplicando a regra do produto a \;y=e^{x}(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x), obtemos
y' = e^{x}(c_{1}\cos x + c_{2}\sin x) \;+\; e^{x}(-c_{1}\sin x + c_{2}\cos x) = e^{x}\bigl[c_{1}(\cos x - \sin x) + c_{2}(\sin x + \cos x)\bigr].

Passo 4

Agora impondo y'(\pi)=-1:
y'(\pi) = e^{\pi}\bigl[c_{1}(\cos\pi - \sin\pi) + c_{2}(\sin\pi + \cos\pi)\bigr] = e^{\pi}\bigl[c_{1}(-1 - 0) + c_{2}(0 - 1)\bigr] = e^{\pi}(-c_{1}-c_{2}).
Queremos e^{\pi}(-c_{1}-c_{2}) = -1, ou seja
-c_{1} - c_{2} = -e^{-\pi} \quad\Longrightarrow\quad c_{1} + c_{2} = e^{-\pi}.
Como já achamos c_{1}=1, segue
c_{2} = e^{-\pi} - 1.

Passo 5

Obtivemos valores específicos (c_{1},c_{2}) que satisfazem ambas as condições de contorno. Portanto existe exatamente um membro da família que resolve o problema de contorno.

Resposta

c_{1} = 1,\quad c_{2} = e^{-\pi} - 1.

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