Calcule as seguintes integrais:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é,
O conteúdo principal será usar simetria em integrais sobre discos e mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Separamos a integral em duas partes:
Passo 3
Pelo disco ser simétrico em relação ao eixo
, a função
é ímpar em
e, portanto,
Logo resta apenas
Passo 4
Para calcular
usamos coordenadas polares:
com
e
. Assim
Passo 5
Calculamos separadamente cada parte:
-
pois a média de em uma volta é . -
Multiplicando, obtemos