Calcule as seguintes integrais:
integral duplaB(x^2+2 y) d x d y, onde B=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4(

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaBl(x^2+2yr),dx,dy,
onde B é o disco de raio 2 centrado na origem, isto é,
B=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<=4
O conteúdo principal será usar simetria em integrais sobre discos e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
integral duplaBx^2,dx,dy ;+; 2integral duplaBy,dx,dy

Passo 3

Pelo disco ser simétrico em relação ao eixo x, a função y é ímpar em y e, portanto,
integral duplaBy,dx,dy=0
Logo resta apenas
integral duplaBx^2,dx,dy

Passo 4

Para calcular integral duplaBx^2,dx,dy usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. Assim
integral duplaBx^2,dx,dy = integral0^2pi!integral0^2l(rcosthetar)^2,r,dr,dtheta = integral0^2picos^2theta,dtheta ;times; integral0^2r^3,dr

Passo 5

Calculamos separadamente cada parte:
  1. integral0^2picos^2theta,dtheta =pi pois a média de cos^2theta em uma volta é 1/2.
  2. integral0^2r^3,dr =l[tfracr^44r]0^2 =tfrac164=4
    Multiplicando, obtemos
integral duplaBx^2,dx,dy = pi times 4 = 4pi

Resposta

4pi

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