Resolva as integrais abaixo
(4 pontos) integral(tg x)^5(sec x)^7 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (tan x)^5(sec x)^7,dx
Este é um caso clássico de integral de potência de tangente e secante. Note que
ddx(sec x)=sec xtan x,
então vamos separar um fator sec xtan x,dx para fazer uma substituição conveniente.

Passo 2

Reescrevemos o integrando isolando sec xtan x,dx:
(tan x)^5(sec x)^7 =underbrace(tan x)^4(sec x)^6(tan^2x)^2(sec^2x)^3,l(sec xtan x,dxr)
Além disso, usamos
(tan x)^4=l(tan^2xr)^2 =l(sec^2x-1r)^2

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sec x, du=sec xtan x,dx
A integral passa a ser
integral(tan x)^4(sec x)^6,(sec xtan x,dx) =integrall(sec^2x-1r)^2,sec^6x,du
Como u=sec x, temos sec^2x=u^2, então
l(sec^2x-1r)^2,sec^6x =l(u^2-1r)^2,u^6
Logo a integral em u é
integral(u^2-1)^2,u^6,du

Passo 4

Expandimos o polinômio:
(u^2-1)^2,u^6 =(u^4-2u^2+1),u^6 = u^10-2u^8+u^6
Integramos termo a termo:
integral(u^10-2u^8+u^6),du =u^1111-2u^99+u^77+C

Resposta

Substituindo de volta u=sec x, obtemos
sec^11x11-2,sec^9x9+sec^7x7+C

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