Encontre a equação da reta tangente à curva de equação
.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as retas tangentes à curva
y = e^,1 - x^2
nos pontos em que ela intersecta a reta y = 1.
O conteúdo principal é cálculo de derivada para obter a inclinação da reta tangente e depois usar a fórmula da reta no ponto.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
e^,1 - x^2 = 1
Isso implica
1 - x^2 = 0
pois e^t=1 se, e somente se, t=0. Logo x^2=1, ou seja, x=1 ou x=-1. Como y=1, os pontos são
(1,1)e(-1,1)

Passo 3

Calculamos a derivada da curva para achar a inclinação da tangente:
y = e^,1 - x^2 Longrightarrow y' = dydx = e^,1 - x^2cdot(-2x) = -2x,e^,1 - x^2
Em x=1 temos
m1 = y'(1) = -2cdot1cdot e^,1-1 = -2cdot1cdot1 = -2,
e em x=-1 temos
m2 = y'(-1) = -2cdot(-1)cdot e^,1-1 = 2cdot1 = 2

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0):
y - y0 = m,(x - x0)
Para (1,1) com m1=-2:
y - 1 = -2,(x - 1) Longrightarrow y = -2x + 2 + 1 = -2x + 3
Para (-1,1) com m2=2:
y - 1 = 2,(x + 1) Longrightarrow y = 2x + 2 + 1 = 2x + 3

Resposta

As equações das retas tangentes são
y = -2x + 3 e y = 2x + 3

Exercícios relacionados