Calcule as seguintes integrais:
ointC[y^33+cos (1+x^3)] d x+[x^33+ln (1+y^3)] d y, onde C é a fronteira da regiã̃o do semiplano y >= 0 limitada pelas curvas
y=x, y=-x, y=raiz4-x^2
e orientada positivamente.

Passo 1

Estamos calculando
ointCP,dx+Q,dy,
com
P(x,y)=y^33+cosl(1+x^3r), Q(x,y)=x^33+lnl(1+y^3r),
onde C é a fronteira orientada positivamente da região D dada pelo setor do disco de raio 2 no semiplano y>=0 entre as retas y=x e y=-x. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^33+ln(1+y^3)r) =x^2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(y^33+cos(1+x^3)r) =y^2
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =x^2-y^2

Passo 3

Portanto
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaD(x^2-y^2),dA

Passo 4

Usemos coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
em que D é o setor
0<= r<=2, pi4<=theta<=3pi4
No integrando
x^2-y^2 =r^2(cos^2theta-sin^2theta) =r^2cos2theta
Logo a integral fica
integral duplaD(x^2-y^2),dA =integraltheta=pi/4^3pi/4integralr=0^2r^2cos2theta,(r,dr,dtheta) =integralpi/4^3pi/4cos2theta,dtheta ;times;integral0^2r^3,dr

Passo 5

Calculamos separadamente
integral0^2r^3,dr =l[r^44r]0^2 =164=4,
integralpi/4^3pi/4cos2theta,dtheta =l[sin2theta2r]pi/4^3pi/4 =12l(sintfrac3pi2-sintfracpi2r) =12(-1-1)=-1
Multiplicando,
integral duplaD(x^2-y^2),dA =4times(-1)=-4

Resposta

-4

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