Calcule as seguintes integrais:
, onde C é a fronteira da regiã̃o do semiplano
limitada pelas curvas
e orientada positivamente.
Passo 1
Estamos calculando
com
onde
é a fronteira orientada positivamente da região
dada pelo setor do disco de raio
no semiplano
entre as retas
e
. Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha numa integral dupla sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
Calculamos
Logo o integrando é
Passo 3
Portanto
Passo 4
Usemos coordenadas polares
em que
é o setor
No integrando
Logo a integral fica
Passo 5
Calculamos separadamente
Multiplicando,