Calcule as seguintes integrais:
integralC F cdot d r, onde C é a curva em R^2 definida pelo triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (0,1), orientada no sentido anti-horário e F é o campo
F(x, y)=[2 y+arctan (e^x)] i+[2 x sen(y^2)] j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1), andando no sentido anti-horário. O campo vetorial é dado por:
F(x, y) = [2 y + arctan (e^x)] i + [2 x sin(y^2)] j
Vamos precisar usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área delimitada por essa curva. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
Onde F = M i + N j.

Passo 3

Vamos identificar M e N no nosso campo vetorial:
M(x, y) = 2y + arctan(e^x)
N(x, y) = 2x sin(y^2)
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x [2x sin(y^2)] = 2 sin(y^2)
partial Mpartial y = partialpartial y [2y + arctan(e^x)] = 2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 2 sin(y^2) - 2 ) dA
Simplificando:
integral duplaD 2 (sin(y^2) - 1) dA

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração para o triângulo D com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1). Podemos integrar primeiro em x de 0 a y e depois em y de 0 a 1:
integral0^1 integral0^y 2 (sin(y^2) - 1) dx , dy
Como a expressão dentro da integral não depende de x, a integração em x é simples:
integral0^1 2 (sin(y^2) - 1) cdot y , dy

Passo 6

Agora, vamos integrar em y:
2 integral0^1 y sin(y^2) , dy - 2 integral0^1 y , dy
Para a primeira integral, fazemos uma substituição:
Seja u = y^2, então du = 2y , dy ou y , dy = du2. Assim:
2 cdot 12 integral0^1 sin(u) , du = integral0^1 sin(u) , du = -cos(u) |0^1 = -cos(1) + cos(0) = -cos(1) + 1
Para a segunda integral:
-2 integral0^1 y , dy = -2 ( y^22 |0^1 ) = -2 ( 12 - 0 ) = -1

Resposta

Somando as duas partes:
(-cos(1) + 1) - 1 = -cos(1)
Portanto, a integral de linha é:
integralC F cdot d r = -cos(1)

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