Resolva as seguintes questões usando o Teorema de Green:
Dado o campo de vetores F(x, y)=[-y+sen(x^2)] i+[x+1] j, calcule integralgamma F cdot d r, onde gamma é a parte da parábola x=1-3 y^2 do ponto (-2,1) ao ponto (-2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
integralgammavec Fcdot dvec r,
onde vec F(x,y)=l[-y+sin(x^2)r] i + [x+1] j e gamma é a parte da parábola x=1-3y^2 do ponto (-2,1) ao ponto (-2,-1).
O conteúdo a usar é o Teorema de Green: para uma curva fechada partial D orientada positivamente (no sentido anti-horário),
ointpartial DM,dx + N,dy = integral duplaDl(partial Npartial x-partial Mpartial yr),dA
Como gamma não é fechada, vamos completar gamma com o segmento C em x=-2 de (-2,-1) a (-2,1), de modo a formar um contorno fechado partial D=gamma'cup C com orientação anti-horária.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=-y+sin(x^2) e N(x,y)=x+1. Calculamos
partial Npartial x=1, partial Mpartial y=-1,
logo
partial Npartial x-partial Mpartial y=1-(-1)=2

Passo 3

Descrito o domínio D: para yin[-1,1], x varia de -2 até 1-3y^2. Pelo Teorema de Green,
ointpartial D vec Fcdot dvec r = integral duplaD 2,dA
Como partial D é composto por gamma' (a parábola de (-2,-1) a (-2,1)) e pelo segmento C (reta vertical de (-2,1) a (-2,-1)),
ointpartial Dvec Fcdot dvec r =integralgamma'vec Fcdot dvec r + integralCvec Fcdot dvec r

Passo 4

Calculamos a integral dupla:
integral duplaD2,dA =2integraly=-1^1integralx=-2^,1-3y^2dx,dy =2integral-1^1l[(1-3y^2)-(-2)r]dy =2integral-1^1(3-3y^2),dy
Agora,
integral-1^1(3-3y^2),dy =l[3y-y^3r]-1^1 =(3-1)-(-3+1)=2-(-2)=4,
portanto
integral duplaD2,dA =2cdot4=8

Passo 5

Agora calculamos a integral sobre o segmento C em x=-2, de (-2,1) a (-2,-1). Parametrizamos por x(t)=-2, y(t)=t, t de 1 a -1. Então dx=0, dy=dt, e
vec Fl(-2,tr) =l[-t+sin(4)r] i +[-2+1] j =l(-t+sin(4)r) i +(-1) j
Assim
integralCvec Fcdot dvec r =integralt=1^-1l(-1r),dt =-1l[(-1)-1r] =2

Passo 6

Para a orientação anti-horária temos
integralgamma'vec Fcdot dvec r + integralCvec Fcdot dvec r =8
Mas gamma' é gamma com orientação invertida, então
integralgamma'vec Fcdot dvec r=-integralgammavec Fcdot dvec r.
Substituindo:
-integralgammavec Fcdot dvec r ;+;2 ;=;8 Longrightarrow integralgammavec Fcdot dvec r =2-8=-6

Resposta

-6

Exercícios relacionados