Resolva as seguintes questões usando o Teorema de Green:
Dado o campo de vetores , calcule , onde gamma é a parte da parábola x=1-3 y^2 do ponto (-2,1) ao ponto (-2,-1).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de linha
integralgammavec Fcdot dvec r,
onde vec F(x,y)=l[-y+sin(x^2)r] i + [x+1] j e gamma é a parte da parábola x=1-3y^2 do ponto (-2,1) ao ponto (-2,-1).
O conteúdo a usar é o Teorema de Green: para uma curva fechada partial D orientada positivamente (no sentido anti-horário),
Como gamma não é fechada, vamos completar gamma com o segmento C em x=-2 de (-2,-1) a (-2,1), de modo a formar um contorno fechado partial D=gamma'cup C com orientação anti-horária.
Passo 2
Identificamos M(x,y)=-y+sin(x^2) e N(x,y)=x+1. Calculamos
partial Npartial x=1, partial Mpartial y=-1,
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partial Npartial x-partial Mpartial y=1-(-1)=2
Passo 3
Descrito o domínio D: para yin[-1,1], x varia de -2 até 1-3y^2. Pelo Teorema de Green,
ointpartial D vec Fcdot dvec r = integral duplaD 2,dA
Como partial D é composto por gamma' (a parábola de (-2,-1) a (-2,1)) e pelo segmento C (reta vertical de (-2,1) a (-2,-1)),
ointpartial Dvec Fcdot dvec r =integralgamma'vec Fcdot dvec r + integralCvec Fcdot dvec r
Passo 4
Calculamos a integral dupla:
integral duplaD2,dA =2integraly=-1^1integralx=-2^,1-3y^2dx,dy =2integral-1^1l[(1-3y^2)-(-2)r]dy =2integral-1^1(3-3y^2),dy