Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para F(x, y)=(4 x-2 y, 2 x+6 y), onde Omega é a região interior à elipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que verifica o Teorema de Green para o campo vetorial F(x, y) = (4x - 2y, 2x + 6y) sobre a região Omega delimitada pela elipse x^2 + 4y^2 = 4. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla sobre a região.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Especificamente:
ointpartial Omega F cdot dr = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde F = (P, Q).

Passo 3

Vamos identificar P e Q no campo vetorial dado:
P = 4x - 2y Q = 2x + 6y

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + 6y) = 2 partial Ppartial y = partialpartial y (4x - 2y) = -2

Passo 5

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2 - (-2) = 4

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região Omega:
integral duplaOmega 4 , dA = 4 cdot Área(Omega) Á

Passo 7

A região Omega é uma elipse dada por x^2 + 4y^2 = 4. Podemos simplificar para a forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
x^24 + y^21 = 1
Então, os semi-eixos são a = 2 e b = 1. A área de uma elipse é:
Área = pi a b = pi cdot 2 cdot 1 = 2pi Á

Passo 8

Substituindo na integral dupla:
4 cdot Área(Omega) = 4 cdot 2pi = 8pi Á

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de linha ointpartial Omega F cdot dr.

Passo 10

Observe que, conforme o Teorema de Green, as duas integrais devem ser iguais se o teorema se verifica. Calculamos a integral dupla como 8pi, portanto, a integral de linha também deve ser 8pi.

Resposta

Portanto, ao calcular ambas as integrais, verificamos que o Teorema de Green é válido para o campo vetorial dado, e ambas as integrais resultam em 8pi.

Exercícios relacionados