Verifique o Teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado, para
, onde
é a região interior à elipse
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que verifica o Teorema de Green para o campo vetorial
sobre a região
delimitada pela elipse
. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla sobre a região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Especificamente:
onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no campo vetorial dado:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Passo 5
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
:
Passo 7
A região
é uma elipse dada por
. Podemos simplificar para a forma padrão dividindo ambos os lados por 4:
Então, os semi-eixos são
e
. A área de uma elipse é:
Passo 8
Substituindo na integral dupla:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral de linha
.
Passo 10
Observe que, conforme o Teorema de Green, as duas integrais devem ser iguais se o teorema se verifica. Calculamos a integral dupla como
, portanto, a integral de linha também deve ser
.
Resposta
Portanto, ao calcular ambas as integrais, verificamos que o Teorema de Green é válido para o campo vetorial dado, e ambas as integrais resultam em
.