Calcule as seguintes integrais: (Por partes)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Esse método é uma técnica da matemática que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
. Na integração por partes, escolhemos
como a função que se simplifica ao derivarmos, e
como a parte restante da nossa integral. Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Para encontrar
, integramos
:
Aqui, percebemos que
não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, o que complica um pouco as coisas. Mas vamos continuar com a integração por partes para ver o que acontece.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Como vimos,
não é uma função elementar, então esse caminho não está simplificando a integral. Vamos tentar uma abordagem diferente usando substituição.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição. Observe que o expoente
sugere que podemos usar:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Agora, vamos tentar reescrever a integral original em termos de
.
Passo 6
A integral original é:
Podemos reescrever
como
, então:
Agora, usando
e
, substituímos na integral:
Passo 7
Agora temos uma integral mais simples:
. Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Escolhemos:
Então, derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Substituindo
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral
é igual a: