Calcule as seguintes integrais: (Por partes) integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3 e^x^2 , dx usando o método de integração por partes. Esse método é uma técnica da matemática que nos ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar u e dv. Na integração por partes, escolhemos u como a função que se simplifica ao derivarmos, e dv como a parte restante da nossa integral. Aqui, vamos escolher:
u = x^3
dv = e^x^2 , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, derivamos u e integramos dv:
du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx
Para encontrar v, integramos dv:
v = integral e^x^2 , dx
Aqui, percebemos que integral e^x^2 , dx não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, o que complica um pouco as coisas. Mas vamos continuar com a integração por partes para ver o que acontece.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^3 e^x^2 , dx = x^3 cdot integral e^x^2 , dx - integral ( integral e^x^2 , dx ) cdot 3x^2 , dx
Como vimos, integral e^x^2 , dx não é uma função elementar, então esse caminho não está simplificando a integral. Vamos tentar uma abordagem diferente usando substituição.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição. Observe que o expoente x^2 sugere que podemos usar:
u = x^2
Então, derivando ambos os lados em relação a x:
du = 2x , dx
Isso nos dá:
x , dx = du2
Agora, vamos tentar reescrever a integral original em termos de u.

Passo 6

A integral original é:
integral x^3 e^x^2 , dx
Podemos reescrever x^3 como x^2 cdot x, então:
integral x^2 cdot x cdot e^x^2 , dx
Agora, usando u = x^2 e x , dx = du2, substituímos na integral:
integral u cdot e^u cdot du2 = 12 integral u e^u , du

Passo 7

Agora temos uma integral mais simples: 12 integral u e^u , du. Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Escolhemos:
u1 = u
dv1 = e^u , du
Então, derivando e integrando:
du1 = du
v1 = integral e^u , du = e^u
Aplicando a fórmula:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
12 integral u e^u , du = 12 (u e^u - e^u) + C
Substituindo u = x^2:
12 (x^2 e^x^2 - e^x^2) + C
Podemos fatorar e^x^2:
12 e^x^2 (x^2 - 1) + C

Resposta

A integral integral x^3 e^x^2 , dx é igual a:
12 e^x^2 (x^2 - 1) + C

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