PRIMEIRA PROVA - P1
Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede pra calcular a integral de
. Vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica super útil quando temos o produto de duas funções, como aqui temos um polinômio e uma função trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar, então vamos deixar o polinômio como
e a função trigonométrica como
.
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Derivando
:
Integrando
:
Para integrar
, fazemos uma substituição:
Seja , então
ou
. Assim:
Seja
Desprezando a constante de integração, temos:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral:
Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:
Derivando
:
Integrando
:
Usando substituição
,
:
Passo 6
Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Já sabemos que:
Então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
Distribuindo o sinal negativo:
Agrupando termos semelhantes:
Resposta
A integral calculada é:
onde
é a constante de integração.