PRIMEIRA PROVA - P1

Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas

Calcule a integral
integral(3 x^2-4 x+7) cos (x / 3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede pra calcular a integral de (3x^2 - 4x + 7) cos(x3) , dx . Vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica super útil quando temos o produto de duas funções, como aqui temos um polinômio e uma função trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser u e qual vai ser dv . Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica ao derivar, então vamos deixar o polinômio como u e a função trigonométrica como dv .
Então, vamos definir:
u = 3x^2 - 4x + 7 dv = cos(x3) , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v . Para isso, derivamos u e integramos dv :
Derivando u :
du = ddx(3x^2 - 4x + 7) dx = (6x - 4) , dx
Integrando dv :
v = integral cos(x3) , dx
Para integrar cos(x3) , fazemos uma substituição:
Seja t = x3 , então dt = 13 dx ou dx = 3 dt . Assim:
v = integral cos(t) cdot 3 , dt = 3 sin(t) + C = 3 sin(x3) + C
Desprezando a constante de integração, temos:
v = 3 sin(x3)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (3x^2 - 4x + 7) cos(x3) , dx = (3x^2 - 4x + 7) cdot 3 sin(x3) - integral 3 sin(x3) cdot (6x - 4) , dx
Simplificando:
= 3(3x^2 - 4x + 7) sin(x3) - integral (18x - 12) sin(x3) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral:
integral (18x - 12) sin(x3) , dx
Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, definimos:
u = 18x - 12 dv = sin(x3) , dx
Derivando u :
du = 18 , dx
Integrando dv :
v = integral sin(x3) , dx
Usando substituição t = x3 , dx = 3 dt :
v = integral sin(t) cdot 3 , dt = -3 cos(t) + C = -3 cos(x3) + C

Passo 6

Aplicando novamente a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral (18x - 12) sin(x3) , dx = (18x - 12) cdot (-3) cos(x3) - integral (-3) cos(x3) cdot 18 , dx
Simplificando:
= -3(18x - 12) cos(x3) + 54 integral cos(x3) , dx
Já sabemos que:
integral cos(x3) , dx = 3 sin(x3) + C
Então:
= -54x cos(x3) + 36 cos(x3) + 54 cdot 3 sin(x3) + C = -54x cos(x3) + 36 cos(x3) + 162 sin(x3) + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, substituímos a integral que acabamos de resolver:
3(3x^2 - 4x + 7) sin(x3) - (-54x cos(x3) + 36 cos(x3) + 162 sin(x3)) + C
Distribuindo o sinal negativo:
= 9x^2 sin(x3) - 12x sin(x3) + 21 sin(x3) + 54x cos(x3) - 36 cos(x3) - 162 sin(x3) + C
Agrupando termos semelhantes:
= 9x^2 sin(x3) - 12x sin(x3) - 141 sin(x3) + 54x cos(x3) - 36 cos(x3) + C

Resposta

A integral calculada é:
integral (3x^2 - 4x + 7) cos(x3) , dx = 9x^2 sin(x3) - 12x sin(x3) - 141 sin(x3) + 54x cos(x3) - 36 cos(x3) + C
onde C é a constante de integração.

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