PRIMEIRA PROVA - P1

Respostas devem ter os cálculos ou justificativas apropriadas

Calcule as integrais abaixo
integral x^3raiz1-x^4 d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral integral x^3raiz1 - x^4 dx. Esse problema está relacionado a técnicas de substituição em integrais que envolvem potências e raízes. Para resolver, vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador raiz1 - x^4, uma boa escolha é definir u = 1 - x^4. Agora, vamos derivar u em relação a x:
dudx = -4x^3 Rightarrow du = -4x^3 dx

Passo 3

Com isso, podemos resolver para x^3 dx:
x^3 dx = -14 du
Substituindo isso na integral original:
integral x^3raiz1 - x^4 dx = integral -14 duraizu = -14 integral u^-12 du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^-12:
integral u^-12 du = 2u^12 + C
Multiplicando pelo coeficiente que ficou fora da integral:
-14 cdot 2u^12 + C = -12 raizu + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = 1 - x^4:
-12 raiz1 - x^4 + C

Resposta

A integral integral x^3raiz1 - x^4 dx é igual a -12 raiz1 - x^4 + C.

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