Calcule as seguintes integrais: (Substituição) integral u-1u+1 d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral u-1u+1,du
usando substituição. Trata-se de uma fração algébrica em que podemos simplificar trocando de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
v = u + 1,
logo
,dv = du
e
,u = v - 1.
Assim o numerador fica
u - 1 = (v - 1) - 1 = v - 2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral u-1u+1,du = integral v-2v,dv = integral l(1 - 2vr),dv

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 1,dv = v,
integral 2v,dv = 2lnlvert vrvert
Logo a primitiva em v é
v - 2lnlvert vrvert + C

Passo 5

Voltando à variável original u com v = u + 1, a antiderivada fica
u + 1 - 2lnlvert u + 1rvert + C
Como o termo constante +1 pode ser absorvido em C, uma forma simplificada é
u - 2lnlvert u + 1rvert + C

Resposta

u + 1 - 2lnlvert u + 1rvert + C
ou, de modo equivalente,
u - 2lnlvert u + 1rvert + C

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