Calcule as seguintes integrais:
(1,0 ponto) integral arctg(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral arctan(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que serve quando temos um produto de funções ou uma função composta que fica mais simples ao separar em u e dv.

Passo 2

Escolhemos aplicar a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Definimos
u = arctan(x) e dv = dx.

Passo 3

Agora calculamos du e v:
Para u = arctan(x) temos
du = 11+x^2,dx
E integrando dv = dx obtemos
v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
integral arctan(x),dx = u,v - integral v,du = x,arctan(x) - integral x cdot 11+x^2,dx

Passo 5

Falta calcular integral x1+x^2,dx. Fazemos a substituição simples t = 1 + x^2, então dt = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,dt. A integral vira:
integral x1+x^2,dx = integral 1t cdot dt2 = tfrac12 integral dtt = tfrac12 ln|t| + C = tfrac12 ln(1+x^2) + C

Passo 6

Substituindo de volta, a integral original fica:
integral arctan(x),dx = x,arctan(x) - tfrac12 ln(1+x^2) + C

Resposta

integral arctan(x),dx = x,arctan(x) - tfrac12ln(1+x^2) + C

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