integrallambda x y d x+x z d y-y z d z, onde lambda:[0,1] R^3, lambda(t)=(t, t^2, t^3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de um caminho no espaço. Aqui, o caminho é definido pela função lambda(t) = (t, t^2, t^3) para t entre 0 e 1. O que a gente vai precisar saber para resolver isso envolve cálculo vetorial, especificamente como parametrizar curvas e calcular integrais de campos vetoriais. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa integral de linha que a gente tem:
integrallambda x y , dx + x z , dy - y z , dz
Isso significa que precisamos integrar a expressão x y , dx + x z , dy - y z , dz ao longo do caminho lambda(t). Para isso, vamos parametrizar as variáveis x, y, e z em termos de t, já que lambda(t) nos dá exatamente isso.

Passo 3

Vamos definir as funções paramétricas com base em lambda(t):
x(t) = t
y(t) = t^2
z(t) = t^3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t, que nos dão dx, dy e dz:
dxdt = 1 implies dx = dt
dydt = 2t implies dy = 2t , dt
dzdt = 3t^2 implies dz = 3t^2 , dt

Passo 4

Com as expressões de x(t), y(t), z(t) e suas derivadas, podemos substituir na integral original:
integral0^1 [x(t) y(t) cdot dx + x(t) z(t) cdot dy - y(t) z(t) cdot dz]
Substituindo:
integral0^1 [t cdot t^2 cdot dt + t cdot t^3 cdot 2t , dt - t^2 cdot t^3 cdot 3t^2 , dt]

Passo 5

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. Primeiro termo:
t cdot t^2 cdot dt = t^3 , dt
  1. Segundo termo:
t cdot t^3 cdot 2t , dt = 2t^5 , dt
  1. Terceiro termo:
t^2 cdot t^3 cdot 3t^2 , dt = 3t^7 , dt
Agora, nossa integral fica:
integral0^1 [t^3 + 2t^5 - 3t^7] , dt

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral t^3 , dt = t^44
  2. integral 2t^5 , dt = 2t^66 = t^63
  3. integral 3t^7 , dt = 3t^88
Então, a integral completa é:
[ t^44 + t^63 - 3t^88 ] gr|0^1

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de t = 0 a t = 1:
Para t = 1:
1^44 + 1^63 - 3 cdot 1^88 = 14 + 13 - 38
Para t = 0:
0^44 + 0^63 - 3 cdot 0^88 = 0 + 0 - 0 = 0
Então, a diferença é:
( 14 + 13 - 38 ) - 0 = 14 + 13 - 38

Passo 8

Vamos somar as frações:
Primeiro, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) para 4, 3 e 8, que é 24.
14 = 624, 13 = 824, 38 = 924
Agora, somamos:
624 + 824 - 924 = 6 + 8 - 924 = 524

Resposta

O valor da integral é 524.

Exercícios relacionados