Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é basicamente somar valores ao longo de um caminho no espaço. Aqui, o caminho é definido pela função para entre 0 e 1. O que a gente vai precisar saber para resolver isso envolve cálculo vetorial, especificamente como parametrizar curvas e calcular integrais de campos vetoriais. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é essa integral de linha que a gente tem:
Isso significa que precisamos integrar a expressão ao longo do caminho . Para isso, vamos parametrizar as variáveis , , e em termos de , já que nos dá exatamente isso.
Passo 3
Vamos definir as funções paramétricas com base em :
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a , que nos dão , e :
Passo 4
Com as expressões de , , e suas derivadas, podemos substituir na integral original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão de t = 0 a t = 1:
Para t = 1:
1^44 + 1^63 - 3 cdot 1^88 = 14 + 13 - 38
Para t = 0:
0^44 + 0^63 - 3 cdot 0^88 = 0 + 0 - 0 = 0
Então, a diferença é:
( 14 + 13 - 38 ) - 0 = 14 + 13 - 38
Passo 8
Vamos somar as frações:
Primeiro, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) para 4, 3 e 8, que é 24.