Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por raiz(x) + raiz(y) = raiz(2), y = 0 e x = 0 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que aparece quando giramos a região delimitada pela curva , pelas retas y = 0 e x = 0 em torno do eixo x. Isso usa a matéria de Cálculo de Volumes por Revolução, especificamente o Método dos Discos. Vamos precisar rearranjar a equação para ter y em função de x e depois configurar a integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação da curva para isolar y. Começamos com:
Subtraindo raiz(x) de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para resolver para y:
Expandindo o lado direito:

Passo 3

No Método dos Discos, o volume V é dado pela integral:
Aqui, f(x) é a função que descrevemos para y, e os limites de integração a e b são os valores de x onde a região começa e termina. Observando a equação original , quando y = 0, temos , então x = 2. E como x começa em 0, nossos limites são de 0 a .

Passo 4

Substituindo f(x) e os limites na integral:
Expandindo o integrando:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 5

Calculando os valores nos limites:
Para x = 2:
Para x = 0, todos os termos são 0.
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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