Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada por
e
torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que aparece quando giramos a região delimitada pela curva
, pelas retas
e
em torno do eixo
. Isso usa a matéria de Cálculo de Volumes por Revolução, especificamente o Método dos Discos. Vamos precisar rearranjar a equação para ter
em função de
e depois configurar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação da curva para isolar
. Começamos com:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Expandindo o lado direito:
Passo 3
No Método dos Discos, o volume
é dado pela integral:
Aqui,
é a função que descrevemos para
, e os limites de integração
e
são os valores de
onde a região começa e termina. Observando a equação original
, quando
, temos
, então
. E como
começa em
, nossos limites são de
a
.
Passo 4
Substituindo
e os limites na integral:
Expandindo o integrando:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 5
Calculando os valores nos limites:
Para
:
Para
, todos os termos são
.
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.