Se f(x)=2+\sqrt[2]{x+2} encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=7.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 2 + \sqrt{x + 2}
e pede a inclinação da reta tangente ao seu gráfico no ponto onde x = 7. Para isso, vamos precisar calcular a derivada f'(x) usando a regra da cadeia e, em seguida, avaliar em x = 7.

Passo 2

Para derivar f(x), note que 2 é constante (derivada zero) e \sqrt{x+2} = (x+2)^{1/2}. Aplicando a regra da potência junto com a regra da cadeia, obtemos
f'(x) = 0 + \frac{1}{2}(x+2)^{-1/2}\cdot 1
ou seja
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}.

Passo 3

Agora basta avaliar em x=7:
f'(7) = \frac{1}{2\sqrt{7+2}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2\cdot 3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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