Sabendo que a derivada de e^{x} é e^{x}, ou seja \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x} e que a derivada de seno é cosseno, ou seja, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x), calcule a derivada da função
g(x)=e^{x} \sin (x)+(\sin (x))^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=e^{x}\sin(x)+\bigl(\sin(x)\bigr)^{2}.
O conteúdo envolvido é:
– Regra do produto para derivar e^{x}\sin(x).
– Regra da cadeia para derivar \bigl(\sin(x)\bigr)^{2}.
Sabemos que \bigl(e^{x}\bigr)^{\prime}=e^{x} e \bigl(\sin(x)\bigr)^{\prime}=\cos(x).

Passo 2

Derivamos o termo e^{x}\sin(x) usando a regra do produto
\bigl(e^{x}\sin(x)\bigr)^{\prime} =\bigl(e^{x}\bigr)^{\prime}\sin(x)+e^{x}\bigl(\sin(x)\bigr)^{\prime} =e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x).

Passo 3

Derivamos o termo \bigl(\sin(x)\bigr)^{2} usando a regra da cadeia. Se u(x)=\sin(x), então
\bigl(u^{2}\bigr)^{\prime}=2\,u\,u^{\prime},
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\bigl(\sin(x)\bigr)^{2\prime} =2\,\sin(x)\,\cos(x).

Passo 4

Agora somamos as derivadas obtidas nos passos anteriores:
g'(x) =\bigl(e^{x}\sin(x)\bigr)^{\prime} +\bigl(\sin(x)\bigr)^{2\prime} =\bigl(e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x)\bigr)+2\sin(x)\cos(x).

Resposta

g'(x)=e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)+2\sin(x)\cos(x).

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