Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Se convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Olhando os termos:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
. - O terceiro termo é
. - O quarto termo é
.
Perceba que para passar de um termo para o próximo, a gente está multiplicando por
. Por exemplo,
, e assim por diante. Isso confirma que a série é geométrica com razão
.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma série geométrica, vamos lembrar como determinar se ela converge ou diverge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja, se
. Nesse caso, o r é
, que é menor que 1. Então, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita:
onde
é o primeiro termo da série e
é a razão.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.