Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
4 + 8/5 + 16/25 + 32/125 + ...

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Olhando os termos:
  • O primeiro termo é .
  • O segundo termo é .
  • O terceiro termo é .
  • O quarto termo é .
Perceba que para passar de um termo para o próximo, a gente está multiplicando por . Por exemplo, , e assim por diante. Isso confirma que a série é geométrica com razão .

Passo 3

Agora que sabemos que é uma série geométrica, vamos lembrar como determinar se ela converge ou diverge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se . Nesse caso, o r é , que é menor que 1. Então, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma dos termos de uma série geométrica infinita:
onde é o primeiro termo da série e é a razão.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:

Resposta

A série é convergente e sua soma é .

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