Calcule as seguintes integrais pela regra da substituição trigonométrica:
integral x^3raizx^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3raizx^2+4,dx
usando a técnica de substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição
x = 2tantheta,
porque isso simplifica a raiz raizx^2+4.

Passo 2

Fazendo x=2tantheta, temos
dx = 2sec^2theta,dtheta e raizx^2+4 = raiz4tan^2theta + 4 = 2sectheta
Além disso,
x^3 = (2tantheta)^3 = 8tan^3theta
Substituindo tudo na integral:
integral x^3raizx^2+4,dx = integral 8tan^3theta2sectheta,l(2sec^2theta,dthetar)

Passo 3

Simplificando o integrando:
8tan^3theta2secthetacdot 2sec^2theta =8,tan^3theta,sectheta
Escrevemos tan^3theta = tan^2thetacdottantheta = (sec^2theta-1)tantheta, então
8,tan^3theta,sectheta =8,(sec^2theta-1),tantheta,sectheta
Agora use a substituição u=sectheta, de modo que du=sectheta,tantheta,dtheta. A integral vira
8integral (sec^2theta-1),tantheta,sectheta,dtheta =8integral (u^2-1),du

Passo 4

Integramos em u:
8integral (u^2-1),du =8l(u^33-ur)+C =83,u^3-8,u + C
Voltando a theta, temos
u=sectheta, sec^3theta=l(secthetar)^3,
portanto
83sec^3theta -8sectheta + C

Passo 5

Retornando à variável x, lembrando que sectheta = raizx^2+42:
sec^3theta =l(raizx^2+4r)^38, sectheta = raizx^2+42
Substituindo:
83sec^3theta = 83cdot(x^2+4)^3/28 =13(x^2+4)^3/2,
-8sectheta = -8cdotraizx^2+42 =-4raizx^2+4
Logo a integral vale
13(x^2+4)^3/2-4raizx^2+4+C

Resposta

integral x^3raizx^2+4,dx =13(x^2+4)^3/2-4raizx^2+4+C

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