Calcule as seguintes integrais reiteradas:
integral3^4 d x integral1^2 d y(x+y)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralx=3^4!dx;integraly=1^2dy(x+y)^2
O conteúdo aqui é a técnica de “integrar por partes” de variáveis independentes (ou seja, calcular a integral interna em y primeiro e depois a externa em x).

Passo 2

Vamos calcular a integral interna
integraly=1^2dy(x+y)^2
Uma antiderivada de 1(x+y)^2 em y é -1x+y. Logo, avaliando de y=1 a y=2, temos
integral1^2dy(x+y)^2 = [-1x+y]y=1^2 = -1x+2 -l(-1x+1r) = 1x+1 - 1x+2

Passo 3

Agora a integral externa fica
integralx=3^4l(1x+1 - 1x+2r),dx
Uma antiderivada de 1x+1 é ln(x+1) e de 1x+2 é ln(x+2). Portanto,
integrall(1x+1 - 1x+2r),dx = ln(x+1) - ln(x+2) + C
Avaliando de x=3 a x=4, obtemos
l[ln(x+1) - ln(x+2)r]3^4 = (ln5 - ln6) - (ln4 - ln5) = 2ln5 - ln4 - ln6

Passo 4

Para simplificar a combinação de logaritmos, escrevemos
2ln5 - ln4 - ln6 = ln(5^2) - ln(4cdot6) = lnl(2524r)

Resposta

ln!l(tfrac2524r)

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