Determine o máximo e o mínimo de f sujeita à condição dada, e os pontos onde eles ocorrem:
f(x, y)=2 x^2+y^2 sujeita à x^2+(y-2)^2=5

Passo 1

O enunciado pede para obter o máximo e o mínimo da função
f(x,y)=2x^2+y^2
sujeita à restrição
x^2+(y-2)^2=5
O método apropriado é o de multiplicadores de Lagrange, que permite encontrar extremos de f sobre a curva dada por g(x,y)=x^2+(y-2)^2-5=0.

Passo 2

Escrevemos o sistema de Lagrange
nabla f = lambda,nabla g
onde
nabla f = (4x,;2y), nabla g = (2x,;2(y-2)),
e a própria restrição
x^2+(y-2)^2=5
Assim obtemos as equações
4x = 2lambda x, 2y = 2lambda,(y-2), x^2+(y-2)^2=5

Passo 3

Analisamos dois casos:
Caso 1: xneq0.
Da primeira equação 4x=2lambda x segue lambda=2.
Substituindo em 2y=2lambda(y-2)
2y = 4(y-2) ;Longrightarrow; y=4
Na restrição x^2+(4-2)^2=5 vem x^2=1, logo
x=pm1, y=4
Caso 2: x=0.
Então a restrição fica (y-2)^2=5, ou seja
y=2pmraiz5

Passo 4

Calculamos f nos pontos obtidos:
Para (1,4) e (-1,4):
f( pm1,4 ) = 2cdot1^2 + 4^2 = 2 + 16 = 18
Para l(0,,2pmraiz5r):
fl(0,,2pmraiz5r) = l(2pmraiz5r)^2 = 4 pm 4raiz5 +5 = 9 pm 4raiz5
Numericamente,
9 - 4raiz5approx0,06, 9 + 4raiz5approx17,94

Passo 5

Comparando os valores:
  • O menor f é 9-4raiz5, que ocorre em l(0,,2-raiz5r).
  • O maior f é 18, que ocorre em (1,4) e (-1,4).

Resposta

valor mínimo: fmin=9-4raiz5 em l(0,,2-raiz5r)
valor máximo: fmax=18 em (1,4) e (-1,4)

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