Determine o máximo e o mínimo de
sujeita à condição dada, e os pontos onde eles ocorrem:
sujeita à
Passo 1
O enunciado pede para obter o máximo e o mínimo da função
sujeita à restrição
O método apropriado é o de multiplicadores de Lagrange, que permite encontrar extremos de
sobre a curva dada por
.
Passo 2
Escrevemos o sistema de Lagrange
onde
e a própria restrição
Assim obtemos as equações
Passo 3
Analisamos dois casos:
Caso 1:
.
Da primeira equação segue
.
Substituindo em dá
Da primeira equação
Substituindo em
Na restrição
vem
, logo
Caso 2:
.
Então a restrição fica , ou seja
Então a restrição fica
Passo 4
Calculamos
nos pontos obtidos:
Para
e
:
Para
:
Numericamente,
Passo 5
Comparando os valores:
- O menor
é , que ocorre em . - O maior
é , que ocorre em e .
Resposta
valor mínimo:
em
valor máximo: em
e
valor máximo: