Calcule as seguintes integrais reiteradas:
integral0^2 d x integral1x^x x^2 d yy^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2!dx;integraltfrac1x^xx^2y^2,dy
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral em y, tratando x como constante, e depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Dentro de dy, x é constante, logo
integraltfrac1x^xx^2y^2,dy = x^2integraltfrac1x^xy^-2,dy
Uma antiderivada de y^-2 é -1/y. Portanto, aplicando os limites,
x^2l[-tfrac1yr]y=1/x^y=x = x^2l(-tfrac1x-(-x)r) = x^2l(x-tfrac1xr) = x^3-x

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
integral0^2(x^3-x),dx
Agora usamos antiderivadas em x: uma antiderivada de x^3 é tfracx^44 e de x é tfracx^22.

Passo 4

Avaliaremos em 0 e 2:
l[tfracx^44-tfracx^22r]0^2 =l(tfrac164-tfrac42r)-0 =(4-2)=2

Resposta

2

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