Colocar os limites de integração,de domínio
em uma ou outra ordem, na integral dupla:
é um trapézio com vértives
Passo 1
O enunciado pede para escrever a mesma integral dupla
em duas ordens de integração diferentes, sendo
o trapézio de vértices
,
,
e
. Para isso vamos achar as equações das arestas e extrair os limites de integração em cada caso.
Passo 2
Vamos primeiro usar a ordem
. Note que
varia do mínimo
até o máximo
. Para cada valor fixo de
, a fronteira esquerda é a reta
dada por
e a fronteira direita é a reta
, que passa por
e
. A equação dessa reta é
Logo, para
temos
Passo 3
Substituindo esses limites, em ordem
a integral fica
Passo 4
Agora a ordem
. Aqui
vai do mínimo
até o máximo
, mas a fronteira superior muda de expressão em
.
Para a aresta superior é
(reta horizontal em
), e a inferior é
em
.
Para a aresta superior é a mesma reta
, dada por
, e a inferior continua em
.
Para
Para
Passo 5
Com isso, em ordem
a integral se divide em duas faixas de
: