Colocar os limites de integração,de domínio S em uma ou outra ordem, na integral dupla:
integralegral duplaS f(x, y) d x d y
S é um trapézio com vértives O(0 ; 0), A(2 ; 0), B(1 ; 1) C(0 ; 1)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a mesma integral dupla
integral duplaSf(x,y),dx,dy
em duas ordens de integração diferentes, sendo S o trapézio de vértices O(0,0), A(2,0), B(1,1) e C(0,1). Para isso vamos achar as equações das arestas e extrair os limites de integração em cada caso.

Passo 2

Vamos primeiro usar a ordem dx,dy. Note que y varia do mínimo 0 até o máximo 1. Para cada valor fixo de y, a fronteira esquerda é a reta OC dada por
x=0,
e a fronteira direita é a reta AB, que passa por (2,0) e (1,1). A equação dessa reta é
y = -,x + 2 Longrightarrow x = 2 - y
Logo, para 0 <= y <= 1 temos
0 <= x <= 2 - y

Passo 3

Substituindo esses limites, em ordem dx,dy a integral fica
integral duplaSf(x,y),dx,dy = integraly=0^1 l(integralx=0^2-y f(x,y),dxr) ,dy

Passo 4

Agora a ordem dy,dx. Aqui x vai do mínimo 0 até o máximo 2, mas a fronteira superior muda de expressão em x=1.
Para 0<= x<=1 a aresta superior é BC (reta horizontal em y=1), e a inferior é OA em y=0.
Para 1<= x<=2 a aresta superior é a mesma reta AB, dada por y = 2 - x, e a inferior continua em y=0.

Passo 5

Com isso, em ordem dy,dx a integral se divide em duas faixas de x:
integral duplaSf(x,y),dx,dy = integralx=0^1 l(integraly=0^1 f(x,y),dyr) ,dx + integralx=1^2 l(integraly=0^2-x f(x,y),dyr) ,dx

Resposta

integral duplaSf(x,y),dx,dy = integraly=0^1integralx=0^2-y f(x,y),dx,dy = integralx=0^1integraly=0^1 f(x,y),dy,dx ;+; integralx=1^2integraly=0^2-x f(x,y),dy,dx

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