Calcule as seguintes integrais: (Substituição) integral 1(x3-8)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de 1(x3-8)^5 em relação a x . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra de substituição para simplificar a integral e encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integral. Olha só, temos x3 - 8 no denominador. Vamos chamar essa expressão de u , ou seja:
u = x3 - 8

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x , que é du/dx . Calculando:
dudx = 13
Isso significa que:
du = 13 dx Rightarrow dx = 3 du

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original. Ficará assim:
integral 1u^5 cdot 3 du = 3 integral u^-5 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-5 em relação a u . Usamos a regra da potência para integrais, que diz que:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aplicando isso aqui, com n = -5 :
integral u^-5 du = u^-4-4 + C = -14 u^-4 + C

Passo 6

Multiplicando pelo 3 que tiramos para fora da integral:
3 cdot (-14 u^-4) + C = -34 u^-4 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x substituindo u de volta:
u = x3 - 8
Então:
-34 (x3 - 8)^-4 + C

Resposta

integral 1(x3-8)^5 d x = -34 (x3 - 8)^-4 + C

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