Resolva: ly^prime=sec ^2(x)+sen(2 x)cos (x) y(pi3)=raiz3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
y' = sec^2(x) + sen(2x)cos(x), yl(pi3r)=raiz3
Vamos integrar termo a termo para achar y(x).

Passo 2

Primeiro simplificamos o segundo termo usando sen(2x)=2sen(x)cos(x):
sen(2x)cos(x) = 2sen(x)cos(x)cos(x) =2sen(x)
Logo a equação vira
y' = sec^2(x) + 2sen(x)

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x) = integral sec^2(x),dx + integral 2sen(x),dx + C = tan(x) -2cos(x) + C,
pois integral sec^2(x),dx=tan(x) e integral sen(x),dx=-cos(x).

Passo 4

Usamos a condição y(pi/3)=raiz3:
yl(tfracpi3r) = tanl(tfracpi3r)-2cosl(tfracpi3r)+C = raiz3-2cdot12 + C = raiz3-1 + C
e isso deve ser igual a raiz3. Assim
raiz3 -1 + C = raiz3 Longrightarrow C = 1

Passo 5

Substituindo C=1 em y(x)=tan(x)-2cos(x)+C, obtemos a solução particular:

Resposta

y(x) = tan(x) - 2cos(x) + 1

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