Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do segundo grau, ou seja, tem uma derivada segunda, que é algo do cálculo. Vamos precisar integrar duas vezes para achar a função y(x) . Além disso, temos duas condições iniciais que vão nos ajudar a encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação:
y'' = 3x^2 - 2
A derivada segunda de y em relação a x é igual a 3x^2 - 2 . Para encontrar y' , precisamos integrar essa expressão em relação a x .
Passo 3
Vamos integrar y'' para achar y' :
y' = integral (3x^2 - 2) , dx = integral 3x^2 , dx - integral 2 , dx = x^3 - 2x + C
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição y'(2) = 3 .
Passo 4
Aplicando a condição inicial y'(2) = 3 :
y'(2) = (2)^3 - 2(2) + C = 8 - 4 + C = 4 + C = 3
Resolvendo para C :
4 + C = 3 implies C = -1
Então, a expressão para y' fica:
y' = x^3 - 2x - 1
Passo 5
Agora, vamos integrar y' para encontrar y :
y = integral (x^3 - 2x - 1) , dx = integral x^3 , dx - integral 2x , dx - integral 1 , dx = x^44 - x^2 - x + D
Aqui, D é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição y(2) = 0 .
Passo 6
Aplicando a condição inicial y(2) = 0 :
y(2) = (2)^44 - (2)^2 - 2 + D = 164 - 4 - 2 + D = 4 - 4 - 2 + D = -2 + D = 0