Resolva:
(a) ly^prime=2 x^2-6x^2+1 y(-1)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos aqui é resolver a seguinte equação:
y' = dfrac2x^2 - 6x^2 + 1 y(-1) = -2
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e vamos precisar usar a integração para encontrar a solução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que y' representa a derivada de y em relação a x . A equação nos diz como essa derivada se comporta. Para encontrar a função y(x) , precisamos integrar ambos os lados da equação em relação a x .
Então, temos:
y' = dfrac2x^2 - 6x^2 + 1
Integrando ambos os lados:
y = integral dfrac2x^2 - 6x^2 + 1 , dx + C

Passo 3

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
dfrac2x^2 - 6x^2 + 1
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
2x^2 - 6 = 2(x^2 + 1) - 8
Portanto,
dfrac2x^2 - 6x^2 + 1 = dfrac2(x^2 + 1) - 8x^2 + 1 = 2 - dfrac8x^2 + 1

Passo 4

Agora, nossa integral fica mais simples:
y = integral (2 - dfrac8x^2 + 1) , dx + C
Vamos integrar termo a termo:
y = integral 2 , dx - 8 integral dfrac1x^2 + 1 , dx + C

Passo 5

Calculando as integrais:
  1. integral 2 , dx = 2x
  2. integral dfrac1x^2 + 1 , dx = arctan(x)
Então:
y = 2x - 8 arctan(x) + C

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial y(-1) = -2 para encontrar o valor da constante C .
Substituindo x = -1 e y = -2 na equação:
-2 = 2(-1) - 8 arctan(-1) + C
Sabemos que arctan(-1) = -dfracpi4 , então:
-2 = -2 - 8 (-dfracpi4) + C
-2 = -2 + 2pi + C
Resolvendo para C :
C = -2 - 2pi

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 2x - 8,arctan(x) - 2 - 2pi

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