Calcule as seguintes integrais: (Substituição) integral(x^2+1)^100 cdot 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(x^2+1)^100 cdot 2x , dx usando o método de substituição. Para isso, precisamos entender como simplificar a expressão dentro da integral escolhendo uma parte que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Observamos que dentro da integral temos (x^2 + 1)^100 e multiplicado por 2x, que é a derivada de x^2 + 1. Isso sugere que podemos definir uma nova variável u da seguinte forma:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
du = dudx , dx = 2x , dx
Isso significa que podemos substituir 2x , dx por du na integral.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral(x^2+1)^100 cdot 2x , dx = integral u^100 , du
Agora, a integral está em termos de u e é muito mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^100 em relação a u:
integral u^100 , du = u^101101 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por último, substituímos u de volta pela expressão original em x:
(x^2 + 1)^101101 + C

Resposta

A integral é igual a dfrac(x^2 + 1)^101101 + C.

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