Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int \cos x e^{5 \operatorname{sen} x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos x \,e^{5\sin x}\,dx
Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois vemos no expoente 5\sin x uma derivada próxima de \cos x.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 5\sin x.
Isso visa simplificar o expoente de e e relacionar \cos x\,dx com du.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos
du = 5\cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx = \frac{du}{5}.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int \cos x\,e^{5\sin x}\,dx = \int e^{u}\,\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int e^{u}\,du = \frac{1}{5}e^{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 5\sin x:
\frac{1}{5}e^{u} + C = \frac{1}{5}e^{5\sin x} + C.

Resposta

\int \cos x \,e^{5\sin x}\,dx = \frac{1}{5}e^{5\sin x} + C.

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