Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int \frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\sqrt{\cos (\theta)}} d \theta;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\sqrt{\cos(\theta)}}\,d\theta
usando o método de substituição. Aqui o truque é notar que a derivada de \cos(\theta) está (até sinal) no numerador, o que facilita a troca de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(\theta).
Então, por derivação,
du = -\operatorname{sen}(\theta)\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad -\!du = \operatorname{sen}(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int \frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\sqrt{\cos(\theta)}}\,d\theta = \int \frac{-\,du}{\sqrt{u}} = - \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de potência para integrar u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Portanto
- \int u^{-\tfrac12}\,du = -2\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável original \theta, temos u^{\tfrac12} = \sqrt{\cos(\theta)}. Logo a antiderivada é
-2\,\sqrt{\cos(\theta)} + C.

Resposta

-2\sqrt{\cos(\theta)} + C

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