Exercício 11. Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{2}(3-2 x)^{4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}(3-2x)^{4}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição simples, pois temos uma função da forma (ax+b)^{n}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3 - 2x,
então
du = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Quando x=1, u=3-2\cdot1=1.
Quando x=2, u=3-2\cdot2=-1.
Substituindo na integral:
\int_{1}^{2}(3-2x)^{4}\,dx =\int_{u=1}^{u=-1}u^{4}\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) =-\tfrac12\int_{1}^{-1}u^{4}\,du.

Passo 4

Invertemos os limites, trocando o sinal:
-\tfrac12\int_{1}^{-1}u^{4}\,du =\tfrac12\int_{-1}^{1}u^{4}\,du.
Como u^4 é função par,
\int_{-1}^{1}u^{4}\,du =2\int_{0}^{1}u^{4}\,du.

Passo 5

Calculamos a integral de 0 a 1:
\int_{0}^{1}u^{4}\,du =\Bigl[\tfrac{u^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac15.
Logo,
\tfrac12\int_{-1}^{1}u^{4}\,du =\tfrac12\cdot2\cdot\tfrac15 =\tfrac15.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{5}

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