Escreva as equações das seguintes hipérboles:
(a) Os focos são F_{1}=(3,-1) e F_{2}=(3,4) e satisfaz \left|\operatorname{dist}\left(P, F_{1}\right)-\operatorname{dist}\left(P, F_{2}\right)\right|=3;

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são F_{1}=(3,-1) e F_{2}=(3,4) e que satisfaz
\bigl|\operatorname{dist}(P,F_{1})-\operatorname{dist}(P,F_{2})\bigr|=3.
O conteúdo aqui é a forma canônica da hipérbole definida por
\bigl|PF_{1}-PF_{2}\bigr|=2a.
Para resolver, vamos identificar o centro da hipérbole, calcular c, a e b e então montar a equação padrão.

Passo 2

Calcular o centro C=(h,k) como o ponto médio de F_{1} e F_{2}:
h=\frac{3+3}{2}=3,\qquad k=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}.
Calcular c a partir da distância entre os focos:
|F_{1}F_{2}|=\sqrt{(3-3)^{2}+(4-(-1))^{2}}=5\quad\Longrightarrow\quad2c=5\;\Rightarrow\;c=\frac{5}{2}.

Passo 3

Determinar a a partir da constante da definição:
2a=3\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{3}{2}.
Calcular b usando a relação fundamental da hipérbole c^{2}=a^{2}+b^{2}:
\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}=\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}+b^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{4}=\frac{9}{4}+b^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=\frac{16}{4}=4.

Passo 4

Como os focos estão alinhados verticalmente, o eixo transverso é vertical e a forma canônica é
\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}} \;-\;\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}} =1.
Substituindo h=3, k=\tfrac{3}{2}, a^{2}=\tfrac{9}{4} e b^{2}=4, obtemos a equação desejada.

Resposta

\frac{\bigl(y-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}}{\tfrac{9}{4}} \;-\; \frac{(x-3)^{2}}{4} \;=\; 1.

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