Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int \frac{\log ^{2}(t)}{t} d t;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\log^{2}(t)}{t}\,dt.
Este é um caso clássico de substituição simples, porque o denominador t sugere que podemos usar u=\log(t), já que d(\log(t)) = \frac{1}{t}\,dt.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \log(t).
Então o diferencial é
du = \frac{1}{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = t\,du,
mas basta notar que \frac{1}{t}\,dt = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{\log^{2}(t)}{t}\,dt = \int u^{2}\,du.
Agora a integral ficou polinomial em u.

Passo 4

Integramos u^{2} em relação a u:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, substituímos u=\log(t):
\frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\bigl(\log(t)\bigr)^{3}}{3} + C.

Resposta

\int \frac{\log^{2}(t)}{t}\,dt = \frac{\bigl(\log(t)\bigr)^{3}}{3} + C.

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