Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int x \sqrt{3-2 x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\sqrt{3-2x^{2}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos reconhecer que, dentro da raiz, aparece uma função de x cuja derivada está proporcional a x, o que indica uma substituição conveniente.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 3 - 2x^{2}.
Calculamos o diferencial de u:
du = -4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original, trocando x\,dx por -\tfrac{1}{4}du e \sqrt{3-2x^{2}} por \sqrt{u}=u^{1/2}:
\int x\sqrt{3-2x^{2}}\,dx = \int u^{1/2}\,\bigl(x\,dx\bigr) = -\tfrac{1}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\tfrac{1}{4}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = -\tfrac{1}{6}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Retornamos à variável x usando u=3-2x^{2}:
-\tfrac{1}{6}\,u^{3/2} + C = -\tfrac{1}{6}\bigl(3-2x^{2}\bigr)^{3/2} + C.

Resposta

\int x\sqrt{3-2x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{6}\bigl(3-2x^{2}\bigr)^{3/2} + C.

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