Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int \sqrt[4]{K-3 x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular por substituição a integral
\int \sqrt[4]{K - 3x}\,dx
que é do tipo potência de uma expressão linear. O conteúdo principal é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = K - 3x,
então derivando ambos os lados em relação a x:
du = -3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \sqrt[4]{K - 3x}\,dx = \int u^{\tfrac{1}{4}}\bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\bigr) = -\tfrac{1}{3}\int u^{\tfrac{1}{4}}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{\tfrac{1}{4}}\,du = \frac{u^{\tfrac{5}{4}}}{\tfrac{5}{4}} = \frac{4}{5}\,u^{\tfrac{5}{4}}.
Multiplicando pelo -\tfrac{1}{3}, obtemos
-\tfrac{1}{3}\cdot \frac{4}{5}\,u^{\tfrac{5}{4}} = -\frac{4}{15}\,u^{\tfrac{5}{4}}.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = K - 3x:
-\frac{4}{15}\,(K - 3x)^{\tfrac{5}{4}} + C.

Resposta

-\frac{4}{15}\,(K - 3x)^{\tfrac{5}{4}} + C.

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