Exercício 8. Faça mudança de variáveis para provar que:
\int_{a c}^{b c} f(t) d t=c \int_{a}^{b} f(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para provar, por mudança de variável, que
\int_{a c}^{b c} f(t)\,dt = c \int_{a}^{b} f(c x)\,dx.
O conteúdo aqui é a regra de substituição em integrais definidas: se fizermos uma bijeção t=g(x) em [a,b], então
\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt = \int_{a}^{b} f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx.
Vamos aplicá-la com g(x)=c\,x.

Passo 2

Defina a mudança de variável por
t = g(x) = c\,x.
Como c é constante, sua derivada é
\frac{dt}{dx} = g'(x) = c,
ou seja
dt = c\,dx.

Passo 3

Determine os novos limites. Quando x=a, temos
t = c\,a = a c,
e quando x=b,
t = c\,b = b c.

Passo 4

Agora aplique a fórmula da substituição:
\int_{a c}^{b c} f(t)\,dt =\int_{x=a}^{x=b} f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx =\int_{a}^{b} f\bigl(c\,x\bigr)\,c\,dx = c \int_{a}^{b} f(c\,x)\,dx.

Resposta

\boxed{\int_{a c}^{b c} f(t)\,dt = c \int_{a}^{b} f(c\,x)\,dx.}

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