Exercício 8. Faça mudança de variáveis para provar que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando mudança de variáveis em integral definida, que
O conteúdo da matéria aqui é a regra de substituição em integrais definidas: se
é uma função diferenciável e bijetora em um intervalo, então
Passo 2
Escolhemos a substituição clássica
Dessa forma, diferenciado ambos os lados, obtemos
Agora basta ajustar os limites de integração:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Passo 3
Substituindo na integral original:
Note que usamos
e trocamos os limites conforme o valor de
.