Exercício 8. Faça mudança de variáveis para provar que:
\int_{a+c}^{b+c} f(x-c) d x=\int_{a}^{b} f(u) d u.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando mudança de variáveis em integral definida, que
\int_{a+c}^{b+c} f(x-c)\,dx \;=\;\int_{a}^{b} f(u)\,du.
O conteúdo da matéria aqui é a regra de substituição em integrais definidas: se g é uma função diferenciável e bijetora em um intervalo, então
\int_{x_1}^{x_2} f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx =\int_{g(x_1)}^{g(x_2)} f(u)\,du.

Passo 2

Escolhemos a substituição clássica
u = x - c.
Dessa forma, diferenciado ambos os lados, obtemos
du = dx.
Agora basta ajustar os limites de integração:
  • Quando x = a + c, temos u = a + c - c = a.
  • Quando x = b + c, temos u = b + c - c = b.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int_{a+c}^{b+c} f(x-c)\,dx =\int_{x=a+c}^{x=b+c} f\bigl(x-c\bigr)\,\underbrace{dx}_{du} =\int_{u=a}^{u=b} f(u)\,du.
Note que usamos du=dx e trocamos os limites conforme o valor de u.

Resposta

\int_{a+c}^{b+c} f(x-c)\,dx = \int_{a}^{b} f(u)\,du.

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