Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int \ln \left(1+x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx.
Este é um caso clássico de integração por partes, onde usamos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = x.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

No segundo termo, note que
x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}} = \frac{2x^{2}}{1+x^{2}} = 2\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr).
Logo
\int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = 2\int\!1\,dx \;-\; 2\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = 2x \;-\; 2\arctan(x).

Passo 5

Substituindo de volta em (3):
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - \bigl(2x - 2\arctan(x)\bigr) + C.
Distribuindo o sinal menos, obtemos
\int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) \;-\; 2x \;+\; 2\arctan(x) \;+\; C }.

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