Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5. \int \operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}} d x. Sugestão. Não se deixe intimidar. Comece fazendo u=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}}\,, d v=d x. Passo 1O enunciado pede para calcular \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx. O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, seguida de uma substituição para tratar a integral resultante. Passo 2Aplicamos integração por partes, tomando u = \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}},\quad dv = dx. Então du = \frac{d}{dx}\Bigl(\operatorname{arcsen} z\Bigr)\Big|_{z=\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\,dx \quad\text{e}\quad v = x. Para du, note que z=\sqrt{\frac{x}{x+1}}. Temos \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} z\bigr) =\frac{z'}{\sqrt{1-z^2}}, onde z' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}. Além disso 1-z^2 =1-\frac{x}{x+1} =\frac{1}{x+1}, logo \sqrt{1-z^2}=(x+1)^{-1/2}. Assim du = \frac{z'}{\sqrt{1-z^2}}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}\;\Bigl((x+1)^{1/2}\Bigr)\,dx = \frac{dx}{2\sqrt{x}\,(x+1)}. Passo 3A fórmula de partes dá \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \int x\;du = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \frac12\int \frac{x}{\sqrt{x}\,(x+1)}\,dx. Simplificando dentro da integral: \frac{x}{\sqrt{x}\,(x+1)} =\frac{\sqrt{x}}{x+1}, então precisamos calcular \frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx. Passo 4Para \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx, fazemos a substituição t=\sqrt{x}, de modo que x=t^2 e dx=2t\,dt. Assim \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx =\int \frac{t}{t^2+1}\;(2t\,dt) =2\int \frac{t^2}{t^2+1}\,dt. Escrevendo \frac{t^2}{t^2+1}=1-\frac1{t^2+1}, obtemos 2\int\Bigl(1-\frac1{t^2+1}\Bigr)dt =2\Bigl(t-\arctan t\Bigr) =2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}. Portanto \frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx =\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}. Passo 5Substituindo de volta na parte por partes, fica \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\bigl(\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}\bigr) + C. Rearranjando, a solução final é x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\sqrt{x} +\arctan\sqrt{x} + C. Resposta \boxed{ \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\sqrt{x} +\arctan\sqrt{x} + C }. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5. \int \ln \left(1+x^{2}\right) d x. ( \mathbf{2 , 5} pts) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=x y^{2} \vec{i}+x^{2} y \vec{j}. (a) Mostre que \vec{F} é conservativo. (b) Encontre f tal que \nabla f=\vec{F}. (c) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva dada por \vec{r}(t)=(\cos t) \vec{i}+(2 \operatorname{sen} t) \vec{j}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}. Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5. \int x \cos ^{2} x d x. Sugestão. \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x). Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5. \int\left(x^{2}+7 x-5\right) \cos 2 x d x.