Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int \operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}} d x. Sugestão. Não se deixe intimidar. Comece fazendo u=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}}\,, d v=d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx.
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, seguida de uma substituição para tratar a integral resultante.

Passo 2

Aplicamos integração por partes, tomando
u = \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}},\quad dv = dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\Bigl(\operatorname{arcsen} z\Bigr)\Big|_{z=\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\,dx \quad\text{e}\quad v = x.
Para du, note que z=\sqrt{\frac{x}{x+1}}. Temos
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen} z\bigr) =\frac{z'}{\sqrt{1-z^2}},
onde
z' = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr)^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}.
Além disso
1-z^2 =1-\frac{x}{x+1} =\frac{1}{x+1},
logo \sqrt{1-z^2}=(x+1)^{-1/2}. Assim
du = \frac{z'}{\sqrt{1-z^2}}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^{3/2}}\;\Bigl((x+1)^{1/2}\Bigr)\,dx = \frac{dx}{2\sqrt{x}\,(x+1)}.

Passo 3

A fórmula de partes dá
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \int x\;du = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} - \frac12\int \frac{x}{\sqrt{x}\,(x+1)}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\frac{x}{\sqrt{x}\,(x+1)} =\frac{\sqrt{x}}{x+1},
então precisamos calcular
\frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx, fazemos a substituição t=\sqrt{x}, de modo que x=t^2 e dx=2t\,dt. Assim
\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx =\int \frac{t}{t^2+1}\;(2t\,dt) =2\int \frac{t^2}{t^2+1}\,dt.
Escrevendo \frac{t^2}{t^2+1}=1-\frac1{t^2+1}, obtemos
2\int\Bigl(1-\frac1{t^2+1}\Bigr)dt =2\Bigl(t-\arctan t\Bigr) =2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}.
Portanto
\frac12\int \frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx =\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}.

Passo 5

Substituindo de volta na parte por partes, fica
\int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\bigl(\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}\bigr) + C.
Rearranjando, a solução final é
x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\sqrt{x} +\arctan\sqrt{x} + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = x\;\operatorname{arcsen}\sqrt{\frac{x}{x+1}} -\sqrt{x} +\arctan\sqrt{x} + C }.

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