( \mathbf{2 , 5} pts) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=x y^{2} \vec{i}+x^{2} y \vec{j}.
(a) Mostre que \vec{F} é conservativo.
(b) Encontre f tal que \nabla f=\vec{F}.
(c) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a curva dada por \vec{r}(t)=(\cos t) \vec{i}+(2 \operatorname{sen} t) \vec{j}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j com
P(x,y)=x\,y^2 e Q(x,y)=x^2\,y.
Queremos:
  1. Mostrar que \vec F é conservativo (isto é, que existe potencial em \Bbb R^2).
  2. Achar uma função f(x,y) tal que \nabla f=\vec F.
  3. Calcular \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r ao longo de C\colon \vec r(t)=(\cos t,\,2\sin t), 0\le t\le\frac\pi2.

Passo 2

Em \Bbb R^2 (domínio simplesmente conexo) um campo (P,Q) é conservativo se e somente se
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^2) =2x\,y,
\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2\,y) =2x\,y.
Como são iguais, \vec F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar o potencial f(x,y), integramos P em x:
f(x,y)=\int x\,y^2\,dx =\tfrac12\,x^2\,y^2+h(y),
onde h depende só de y.
Derivando em y,
\displaystyle f_y =x^2\,y + h'(y) deve ser igual a Q(x,y)=x^2\,y.
Logo h'(y)=0 e h é constante.
Podemos escolher h\equiv0, ficando
f(x,y)=\tfrac12\,x^2\,y^2.

Passo 4

Pela Teorema Fundamental das Matrizes (Teorema de Newton–Leibniz para campos conservativos),
\int_C\vec F\cdot d\vec r =f\bigl(r(\tfrac\pi2)\bigr)-f\bigl(r(0)\bigr).
Temos
\displaystyle r(0)=(\cos0,2\sin0)=(1,0),
\displaystyle r(\tfrac\pi2)=(\cos\tfrac\pi2,2\sin\tfrac\pi2)=(0,2).
Então
f(1,0)=\tfrac12\cdot1^2\cdot0^2=0, \quad f(0,2)=\tfrac12\cdot0^2\cdot2^2=0,
e segue
\displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=0-0=0.

Resposta

(a) \vec F é conservativo porque \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=2xy.
(b) f(x,y)=\tfrac12\,x^2\,y^2 (até constante).
(c) \displaystyle\int_C\vec F\cdot d\vec r=0.

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