(
pts) Considere o campo vetorial
.
(a) Mostre que
é conservativo.
(b) Encontre
tal que
.
(c) Calcule
, onde
é a curva dada por
.
(a) Mostre que
(b) Encontre
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e
.
Queremos:
Queremos:
- Mostrar que
é conservativo (isto é, que existe potencial em ). - Achar uma função
tal que . - Calcular
ao longo de , .
Passo 2
Em
(domínio simplesmente conexo) um campo
é conservativo se e somente se
.
Aqui
,
.
Como são iguais, é conservativo.
Aqui
Como são iguais,
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos
em
:
onde
depende só de
.
Derivando em ,
deve ser igual a
.
Logo e
é constante.
Podemos escolher , ficando
Derivando em
Logo
Podemos escolher
Passo 4
Pela Teorema Fundamental das Matrizes (Teorema de Newton–Leibniz para campos conservativos),
Temos
,
.
Então
Então
e segue
Resposta
(a)
é conservativo porque
.
(b) (até constante).
(c) .
(b)
(c)