Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int x \cos ^{2} x d x. Sugestão. \cos ^{2} x=\frac{1}{2}(1+\cos 2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \cos^{2}x \,dx.
O conteúdo envolve usar a identidade trigonométrica
\cos^{2}x = \tfrac12\bigl(1+\cos2x\bigr)
e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Substituindo a identidade em \cos^{2}x:
\int x\cos^{2}x \,dx = \int x \cdot \frac12\bigl(1+\cos2x\bigr)\,dx = \frac12\int x\,dx + \frac12\int x\cos2x\,dx.

Passo 3

A primeira integral é imediata:
\frac12\int x\,dx = \frac12\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 4

Para a segunda integral usamos integração por partes, lembrando que
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos
u = x, \quad dv = \frac12\cos2x\,dx,
logo
du = dx, \quad v = \frac12\int \cos2x\,dx = \frac12\cdot\frac{\sin2x}{2} = \frac{\sin2x}{4}.
Substituindo na fórmula:
\frac12\int x\cos2x\,dx = uv - \int v\,du = \frac{x\sin2x}{4} - \int \frac{\sin2x}{4}\,dx.

Passo 5

Calculando a integral restante:
\int \frac{\sin2x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int \sin2x\,dx = \frac{1}{4}\Bigl(-\frac{\cos2x}{2}\Bigr) = -\frac{\cos2x}{8}.
Portanto
\frac12\int x\cos2x\,dx = \frac{x\sin2x}{4} + \frac{\cos2x}{8}.

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos
\int x\cos^{2}x \,dx = \frac{x^{2}}{4} + \bigl(\frac{x\sin2x}{4} + \frac{\cos2x}{8}\bigr) + C = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x\sin2x}{4} + \frac{\cos2x}{8} + C.

Resposta

\int x\cos^{2}x \,dx = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x\sin2x}{4} + \frac{\cos2x}{8} + C.

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