Calcule as seguintes integrais de superfície:
(a) integral duplaS y d sigma, onde S é a superfície dada por z=x+y^2, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 2;
(b) integral duplaS x^2 d sigma, onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1;
© integral duplaS y d sigma, onde S é a parte do plano 3 x+2 y+z=6, que está contido no primeiro octante;
(d) integral duplaS x z d sigma, onde S é o triângulo com vértices (1,0,0),(1,1,1) e (0,0,2);
(e) S, onde x=4-y^2-z^2 é a parte do parabolóide x >= 0 contida no semi-espaço integral duplaS y z d sigma;
(f) S, onde z=y+3 é a parte do plano x^2+y^2=1 limitada pelo cilindro integral duplaS x y d sigma;
(g) S, onde x^2+z^2=1 é a fronteira da região limitada pelo cilindro y=0 e pelos planos x+y=2 e S;
(h) x^2+y^2+z^2=4, z >= 0, onde integral duplaS x y z d sigma é o hemisfério S;
(i) x^2+y^2+z^2=1, onde z=raizx^2+y^2 é a parte da esfera integral duplaS raiz2 x^2+2 y^2-22 x^2+2 y^2-1 d sigma interior ao cone S;
(j) x^2+y^2-z^2=1, onde 1 <= z <= 3 é a parte de integral duplaS(x+1) d sigma com S;
(k) z=raizx^2+y^2, onde x^2+y^2=2 y é a parte de limitada por .

Passo 1

A gente tem 11 superfícies diferentes e vai usar parametrizações e fórmulas de dσ adequadas a cada caso (gráfico de função, esfera, plano, cilindro etc.). Em cada item aplicaremos a expressão de dσ e calcularemos a integral dupla.

Passo 2

Para (a), S é gráfico z=x+y² sobre 0≤x≤1,0≤y≤2. Usamos z_x=1,z_y=2y,então
dσ=raiz1+1+4y^2,dx,dy=raiz2+4y^2,dx,dy
A integral é
$$\int_01\int_02 y\sqrt{2+4y^2},dy,dx.
$$
Fazendo u=2+4y²⇒du=8y dy, obtemos integral0^1integral0^2 yraiz2+4y^2,dy,dx .

Passo 3

Para (b), S é a esfera unitária. Por simetria
$$\iint_S x2,dσ=\frac{1}{3}\iint_S(x2+y2+z2),dσ=\frac{1}{3}\cdot4π=\frac{4π}{3}.
$$

Passo 4

Para ©, S é o plano z=6−3x−2y no 1.º octante. Projetamos no xy: z_x=−3,z_y=−2,logo
$$dσ=\sqrt{1+9+4},dx,dy=\sqrt{14},dx,dy.
dσ=raiz1+9+4,dx,dy=raiz14,dx,dy ãéâ\sqrt{14}\int_02\int_0{(6−3x)/2}y,dy,dx=3\sqrt{14}.
$$

Passo 5

Para (d), S é triângulo com A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,0,2). Parametrizamos r(s,t)=A+s(B−A)+t(C−A), 0≤s,t,s+t≤1. O vetor normal tem módulo √6, e x=1−t, z=s+2t. A integral
$$\iint xz,dσ=√6\int_01\int_0{1−s}(1−t)(s+2t),dt,ds=\frac{√6}{6}.
$$

Passo 6

Para (e), S é o parabolóide x=4−y²−z² (x≥0). Tomamos y,z como parâmetros, g_y=−2y,g_z=−2z,
dσ=raiz1+4y^2+4z^2,dy,dz
Usando coordenadas polares em (y,z), a integral fecha em radicais de 17 e dá
$$I_e=\frac{π}{64}\Bigl[\frac{2}{7}(17{7/2}−1)-\frac{68}{5}(17{5/2}−1)+\frac{578}{3}(17^{3/2}−1)\Bigr]
+\frac{π}{16}\Bigl[\frac{17{5/2}-1}{5}-\frac{17{3/2}-1}{3}\Bigr].$$

Passo 7

Para (f), S é parte do plano z=y+3 sobre x²+y²≤1. z_x=0,z_y=1 ⇒ dσ=√2 dx dy. A integranda é y z=y(y+3). Em polares
integral duplaS y(y+3)dσ=√2integral0^2πintegral0^1(r,sinθ)(r,sinθ+3)r,dr,dθ=π√24

Passo 8

Para (g), S é a fronteira do cilindro x²+z²=1 entre y=0 e x+y=2. Tem 3 peças: lateral, base y=0 (integrando xy=0) e teto x+y=2. Somando dá
$$I_g= -2π +0 -\frac{π√2}{4}= -2π-\frac{π√2}{4}.
$$

Passo 9

Para (h), S é o hemisfério ρ=2,z≥0. Em esféricas ρ=2 ⇒ dσ=ρ²sinφ dφdθ=4sinφ dφdθ. Integrando z(x²+y²)=2cosφ·4sin²φ obtemos
Ih=16π

Passo 10

Para (i), S é parte da esfera ρ=1 com 0≤φ≤π/4. Em esféricas integrando xyz=sin²φ cosφ cosθ sinθ, o θ dá zero, logo
Ii=0

Passo 11

Para (j), S satisfaz x²+y²−z²=1,1≤z≤3. Parametrizamos em coordenadas hiperbólicas (u,θ) e escrevemos a integral em u∈[asinh1,asinh3],θ∈[0,2π]. O resultado fica em forma de integral fechada em u e θ.

Passo 12

Para (k), S é parte do cone z=√(x²+y²) limitada por x²+y²=2y (r=2sinθ). Em polares
$$dσ=√2,rdrdθ,\quad x+1=r,cosθ+1.
dσ=√2,rdrdθ, x+1=r,cosθ+1 óI_k=\frac{32√2}{9}.$$

Resposta

(a) tfrac13raiz23
(b) tfrac4π3
© 3raiz14
(d) tfracraiz66
(e) π64l[27(17^7/2-1)-685(17^5/2-1)+5783(17^3/2-1)r]+π16l[17^5/2-15-17^3/2-13r]
(f) tfracπraiz24
(g) -2π-tfracπraiz24
(h) 16π
(i) 0
(j) Em forma de integral em u=asinh(z): Ij=integralu=sinh^-11^sinh^-13integral0^2πraiz2sinh^2u2cosh^2u-1,l|ruÃrθr|,dθ,duà com parametrização hiperbólica.
(k) tfrac32raiz29

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