A gente tem 11 superfícies diferentes e vai usar parametrizações e fórmulas de dσ adequadas a cada caso (gráfico de função, esfera, plano, cilindro etc.). Em cada item aplicaremos a expressão de dσ e calcularemos a integral dupla.
Passo 2
Para (a), S é gráfico z=x+y² sobre 0≤x≤1,0≤y≤2. Usamos z_x=1,z_y=2y,então
A integral é
$$\int_01\int_02 y\sqrt{2+4y^2},dy,dx.
Para (d), S é triângulo com A(1,0,0),B(1,1,1),C(0,0,2). Parametrizamos r(s,t)=A+s(B−A)+t(C−A), 0≤s,t,s+t≤1. O vetor normal tem módulo √6, e x=1−t, z=s+2t. A integral
Para (e), S é o parabolóide x=4−y²−z² (x≥0). Tomamos y,z como parâmetros, g_y=−2y,g_z=−2z,
Usando coordenadas polares em (y,z), a integral fecha em radicais de 17 e dá
$$I_e=\frac{π}{64}\Bigl[\frac{2}{7}(17{7/2}−1)-\frac{68}{5}(17{5/2}−1)+\frac{578}{3}(17^{3/2}−1)\Bigr]
Para (f), S é parte do plano z=y+3 sobre x²+y²≤1. z_x=0,z_y=1 ⇒ dσ=√2 dx dy. A integranda é y z=y(y+3). Em polares
Passo 8
Para (g), S é a fronteira do cilindro x²+z²=1 entre y=0 e x+y=2. Tem 3 peças: lateral, base y=0 (integrando xy=0) e teto x+y=2. Somando dá
$$I_g= -2π +0 -\frac{π√2}{4}= -2π-\frac{π√2}{4}.
$$
Passo 9
Para (h), S é o hemisfério ρ=2,z≥0. Em esféricas ρ=2 ⇒ dσ=ρ²sinφ dφdθ=4sinφ dφdθ. Integrando z(x²+y²)=2cosφ·4sin²φ obtemos
Passo 10
Para (i), S é parte da esfera ρ=1 com 0≤φ≤π/4. Em esféricas integrando xyz=sin²φ cosφ cosθ sinθ, o θ dá zero, logo
Passo 11
Para (j), S satisfaz x²+y²−z²=1,1≤z≤3. Parametrizamos em coordenadas hiperbólicas (u,θ) e escrevemos a integral em u∈[asinh1,asinh3],θ∈[0,2π]. O resultado fica em forma de integral fechada em u e θ.
Passo 12
Para (k), S é parte do cone z=√(x²+y²) limitada por x²+y²=2y (r=2sinθ). Em polares