Questão 2: Calcule o valor da integral
I=integral0^1 integralarcsen y^pi2 cos x raiz1+cos ^2 x d x d y
resp: 13(2 raiz2-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=integral0^1integralarcsin y^pi2cos xraiz1+cos^2 x,dx,dy
Esse problema envolve mudança de ordem de integração (teorema de Fubini) e depois uma substituição para resolver a integral simples que surgir.

Passo 2

A região de integração é dada por
0<= y<=1, arcsin y<= x<= pi2
Para trocar a ordem, vemos que arcsin y<= x equivale a y<= sin x. Como y vai de 0 até 1, e sin x alcança 1 em x=tfracpi2, a nova descrição é
0<= x<= pi2, 0<= y<= sin x
Pelo teorema de Fubini,
I=integralx=0^tfracpi2integraly=0^sin xcos xraiz1+cos^2 x,dy,dx

Passo 3

Integrando em y primeiro, como o integrando não depende de y:
integraly=0^sin xdy=sin x,
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I=integral0^tfracpi2sin xcos xraiz1+cos^2 x,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^tfracpi2sin xcos xraiz1+cos^2 x,dx
vamos usar a substituição
u=1+cos^2 x, du=-2cos xsin x,dx Rightarrow sin xcos x,dx=-tfrac12,du
Quando x=0, u=1+1=2; quando x=tfracpi2, u=1+0=1.

Passo 5

A integral fica
I=-tfrac12integralu=2^1u^1/2,du=tfrac12integral1^2u^1/2,du =tfrac12gl[tfrac23u^3/2gr]1^2 =tfrac13l(2^3/2-1r) =tfrac13l(2raiz2-1r)

Resposta

\tfrac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)

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