Questão 2: Calcule o valor da integral
resp:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Esse problema envolve mudança de ordem de integração (teorema de Fubini) e depois uma substituição para resolver a integral simples que surgir.
Passo 2
A região de integração é dada por
Para trocar a ordem, vemos que
equivale a
. Como
vai de 0 até 1, e
alcança 1 em
, a nova descrição é
Pelo teorema de Fubini,
Passo 3
Integrando em
primeiro, como o integrando não depende de
:
logo
Passo 4
Para calcular
vamos usar a substituição
Quando
,
; quando
,
.
Passo 5
A integral fica
Resposta
\tfrac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)